Нехай \( \Omega \) – описане коло трикутника ABC, а точка \(O\) – його центр. Коло \( \Gamma\) з центром \(A\) перетинає вiдрiзок \(BC\) у точках \(D\) i \(E\) так, що точки \(B, D, E\) i \(C\) усi рiзнi та лежать на прямiй \(BC\) у наведеному порядку. Нехай \(F\) i \(G\) – точки перетину кiл \( \Gamma\) i \( \Omega \), при цьому точки \(A, F, B, C\) i \(G\) лежать на \( \Omega \) у наведеному порядку. Нехай \(K\) – друга точка перетину описаного кола трикутника \(BDF\) i вiдрiзка \(AB\). Нехай \(L\) – друга точка перетину описаного кола трикутника \(CGE\) i вiдрiзка \(CA\). \( \newline \) Нехай прямi \(FK\) i \(GL\) рiзнi i перетинаються в точцi \(X\). Доведiть, що точка \(X\) лежить на прямiй \(AO\).
Нехай \(ABC\) – гострокутний трикутник, у якого \(AB \gt AC\), \( \Gamma\) – коло, описане навколо нього, \(H\) – його ортоцентр, а \(F\) – основа висоти, що проведена з вершини \(A\). Нехай \(M\) – середина сторони \(BC\). Нехай \(Q\) – така точка на колi \( \Gamma\), що \( \angle HQA = 90°\), а \(K\) – така точка на колi \( \Gamma \), що \( \angle HKQ = 90°\). Нехай точки \(A, B, C, K\) i \(Q\) рiзнi i лежать на колi \( \Gamma \) в наведеному порядку. \( \newline \) Доведiть, що описанi кола трикутникiв \(KQH\) i \(FKM\) дотикаються одне до одного.
Знайдiть усi трiйки натуральних чисел \( (a, b, c) \), для яких кожне з чисел $$ ab − c, bc − a, ca – b $$ є степенем двiйки. \( \newline \) (\(\it{Степенем\ двiйки\ називається\ число\ вигляду}\) \( 2^n\), \( \it{де} \ n – \it{\ цiле\ невiд’ємне\ число}\)).
Скiнченну множину \(S\) точок на площинi будемо називати \( \it{збалансованою}\), якщо для довiльних рiзних точок \(A\) i \(B\) з множини \(S\) знайдеться така точка \(C\) з множини \(S\), що \(AC = BC\). Множину \(S\) будемо називати \( \it{ексцентричною}\), якщо для довiльних трьох рiзних точок \(A\), \(B\) i \(C\) з множини \(S\) не iснує такої точки \(P\) з множини \(S\), що \(PA = PB = PC\). \( \newline \)(а) Доведiть, що для довiльного цiлого \(n \ge 3\) iснує збалансована множина, що складається з \(n\) точок. \( \newline \) (б) Знайдiть всi цiлi \(n \ge 3\), для яких iснує збалансована ексентрична множина, що складається з \(n\) точок.
На площинi задано \(n \gt 2\) вiдрiзкiв таким чином, що довiльнi два перетинаються у внутрiшнiй точцi та жоднi три не перетинаються в однiй точцi. Дiд Панас має вибрати кiнець кожного вiдрiзка i посадити в нього жабеня очима у напрямку iншого кiнця. Пiсля цього, вiн плескає в долонi \(n – 1\) раз. Кожного разу, коли вiн плескає, кожне жабеня одразу перестрибує у наступну точку перетину свого вiдрiзку. Жабенята нiколи не змiнюють напрямок стрибкiв. Дiд Панас хоче розсадити жабенят таким чином, щоб жодна пара жабенят не опиналася в однiй точцi перетину у жодний момент часу. \( \newline \)(a) Доведiть, що дiд Панас може завжди так зробити, коли \(n\) — непарне число. \( \newline \)(б) Доведiть, що дiд Панас не зможе цього зробити, коли \(n\) — парне число.
Рiвняння $$ (x − 1)(x − 2)·\ldots·(x − 2016) = (x − 1)(x − 2)·\ldots·(x − 2016)$$ записане на дошцi, лiва i права частини якого мiстять по \(2016\) лiнiйнi множники. Знайдiть найменше можливе значення \(k\), для якого можна витерти з дошки рiвно \(k\) з цих \(4032\) лiнiйних множникiв так, що хоча б один множник залишиться у кожнiй частинi рiвняння, i рiвняння, що залишилось, не має дiйсних коренiв?
Множина натуральних чисел називається тендiтною, якщо вона мiстить не менше двох елементiв, i кожний елемент цiєї множини має спiльний простий дiльник з принаймнi одним iншим елементом цiєї множини. Нехай \(P(n) = n^2 + n + 1\). \( \newline \) Для якого найменшого натурального числа \(b\) iснує цiле невiд’ємно число a таке, що множина $$ \{ P(a + 1), P(a + 2), \ldots, P(a + b) \} $$є тендiтною?
Знайдiть усi натуральнi \(n\), для яких у кожну клiтинку дошки \(n × n\) можна помiстити одну з лiтер \(I\), \(M\) або \(O\) так, що: \( \newline \) • у кожному рядку та у кожному стовпчику буде розташована рiвно третина лiтер \(I\), рiвно третина лiтер \(M\) та рiвно третина лiтер \(O\); i \( \newline \) • у кожнiй дiагоналi, кiлькiсть клiтинок якої дiлиться на три, буде розташована рiвно третина лiтер \(I\), рiвно третина лiтер \(M\) та рiвно третина лiтер \(O\). \( \newline \) \(\bf{Зауваження}\): Якщо рядки та ствопчики таблицi \(n × n\) занумерованi числами вiд \(1\) до \(n\) природнiм чином, тодi кожнiй клiтинцi вiдповiдає пара натуральних чисел \( (i, j) \), для яких \(1 \le i\), \(j \le n\). При \(n \gt 1\), таблиця має \(4n − 2\) дiагоналi двох типiв. Дiагональ першого типу складається з усiх клiтинок \( (i, j) \), для яких \(i + j\) є константою, а дiагональ другого типу складається з усiх клiтинок \( (i, j)\), для яких \(i − j\) є константою.
Задано прямокутний трикутник \(BCF\) з прямим кутом \(B\). Нехай \(A\) — точка на прямiй \(CF\) така, що \(FA = FB\) та \(F\) лежить мiж \(A\) i \(C\). Точку \(D\) вибрано так, що \(DA = DC\) i \(AC\) — бiсектриса \(\angle DAB\). Точку \(E\) вибрано так, що \(EA = ED\) i \(AD\) — бiсектриса \(\angle EAC\). Нехай \(M\) — середина \(CF\), а точка \(X\) така, що \(AMXE\) — паралелограм (у якому \(AM \Vert EX\) i \(AE \Vert MX\). \( \newline \) Доведiть, шо прямi \(BD\), \(FX\) i \(ME\) перетинаються в однiй точцi.
Доведіть, що існує додатна константа \(c\), для якої справджується таке твердження: Нехай \(S\) – множина з \(n \gt 1\) точок площини, у якій відстані між довільними двома точками не менше за 1. Тоді існує пряма \(ℓ\), що розділяє множину \(S\), така що відстань від довільної точки \(S\) до \(ℓ\) не менше ніж \(cn^{–1/3}\). (Пряма \(ℓ\) розділяє множину точок \(S\), якщо вона перетинає деякий відрізок, кінці якого належать \(S\).) \( \newline \) \(\it{Зауваження}\). Більш слабкі результати з заміною \(cn^{–1/3}\) на \(cn^{–\alpha}\) можуть оцінюватися в залежності від значень константи \(\alpha \gt 1/3\).