Доведіть, що існує додатна константа \(c\), для якої справджується таке твердження: Нехай \(S\) – множина з \(n \gt 1\) точок площини, у якій відстані між довільними двома точками не менше за 1. Тоді існує пряма \(ℓ\), що розділяє множину \(S\), така що відстань від довільної точки \(S\) до \(ℓ\) не менше ніж \(cn^{–1/3}\). (Пряма \(ℓ\) розділяє множину точок \(S\), якщо вона перетинає деякий відрізок, кінці якого належать \(S\).) \( \newline \) \(\it{Зауваження}\). Більш слабкі результати з заміною \(cn^{–1/3}\) на \(cn^{–\alpha}\) можуть оцінюватися в залежності від значень константи \(\alpha \gt 1/3\).
| Attributes | Олімпіадна |
|---|---|
| Source | International Mathematical Olympiad |
| Year | 2020 |
| Number | 6 |
| Difficulty | 10.0 |
| Themes |