Маємо \(n \gt 1\) карток, на кожній з яких записано натуральне число. Виявилося, що для довільних двох карток середнє арифметичне записаних на них чисел дорівнює середньому геометричному чисел, записаних на картках деякого набору, що складається з однієї або більше карток. \( \newline \) При яких \(n\) з цього випливає, що всі числа, записані на картках, рівні?

Задано ціле число \(n \gt 1.\) На горном схилі на попарно різних висотах розташовано \(n^2\) станцій фунікулеру. Кожна з двох компаній \(A\) та \(B\) володіє \(k\) підйомниками. Кожний підйомник виконує регулярний трансфер (без пересадок) з однієї зі станцій на іншу, що розташована вище. \(K\) трансферів компані \(A\) починаються на \(k\) різних станціях; також вони закінчуються на k різних станціях; при цьому трансфер, який починається вище, закінчується теж вище. Ті саме умови виконано для компанії \(B\). Будем казати, що дві станції пов’язані компанією, якщо можна дістатися з нижньої станції до верхньої, використовуючи один чи декілька трансферів цієї компанії (інші пересування між станціями заборонено). \( \newline \) Знайдіть найменше \(k\), при якому гарантовано знайдуться дві станції, що пов’язані обома компаніями.

Маємо \(4n\) камінців вагою \(1, 2, 3, \ldots, 4n\). Кожний з камінців пофарбовано в один з \(n\) кольорів, причому маємо по 4 камінці кожного кольору. \( \newline \) Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної ваги так, щоб в кожній купці було по два камінці кожного кольору.

Задано дійсні числа a, b, c, d такі, що \(a \gt b\gt c \gt d \gt 0\) і \(a + b + c + d = 1\). Доведіть, що \((a + 2b + 3c + 4d) a^a b^b c^c d^d \lt 1\).

В середині опуклого чотирикутника \(ABCD\) знайшлася точка \(P\) така, що справджується рівності: \(\angle PAD \div \angle PBA \div \angle DPA = 1 \div 2 \div 3 = \angle CBP \div \angle BAP \div \angle BPC\). \( \newline \) Доведіть, що три такі прямі перетинаються в одній точці: внутрішні бісектриси кутів \(\angle ADP\) і \(\angle PCB\) та серединний перпендикуляр до відрізку \(AB\).

Нехай \(I\) — центр вписаного кола гострокутного трикутника \(ABC\), та \(AB \neq AC\). Вписане коло \(\omega\) трикутника \(ABC\) дотикається сторiн \(BC\), \(CA\) i \(AB\) у точках \(D\), \(E\) та \(F\) вiдповiдно. Пряма, що проходить через \(D\) перпендикулярно до \(EF\), вдруге перетинає коло \(\omega\) у точцi \(R\). Пряма \(AR\) вдруге перетинає коло \(\omega\) у точцi \(P\). Описанi кола трикутникiв \(PCE\) та \(PBF\) вдруге перетинаються в точцi \(Q\). \( \newline \) Доведiть, що прямi \(DI\) та \(PQ\) перетинаються на прямiй, що проходить через \(A\) перпендикулярно до \(AI\).

Банк мiста Бат виробляє монети з лiтерою \(H\) на одному боцi та лiтерою \(T\) на iншому боцi. Гаррi виклав \(n\) таких монет у ряд злiва направо. Вiн послiдовно виконує таку операцiю: якщо в ряду рiвно \(k \gt 0\) монет лежать догори лiтерою \(H\), то вiн перевертає \(k\)-ту злiва монету; iнакше усi монети лежать догори лiтерою \(T\) i вiн зупиняється. Наприклад, якщо \(n=3\) та процес починається з конфiгурацiї \(THT\), то послiдовнiсть операцiй матиме такий вигляд: \(THT \to HHT \to HTT \to TTT \), тобто процес зупиниться пiсля трьох операцiй. \( \newline \) (a) Доведiть, що для будь-якої початкової конфiгурацiї процес зупиниться пiсля скiнченної кiлькостi операцiй. \( \newline \) (b) Для кожної початкової конфiгурацiї \(C\) позначимо за \(L(C)\) кiлькiсть операцiй, пiсля яких процес зупиниться. Наприклад, \(L(THT)=3\) та \(L(TTT)=0\). \( \newline \) Знайдiть середнє арифметичне значень \(L(C)\), якщо \(C\) пробiгає всi \(2n\) можливих початкових конфiгурацiй.

Знайдiть усi пари натуральних чисел \((k, n)\) такi, що \(k! = (2n − 1)(2n − 2)(2n − 4) · \ldots·(2n − 2n−1)\).

У соцiальнiй мережi 2019 користувачiв. Деякi користувачi товаришують з деякими iншими, при цьому якщо користувач \(A\) є другом користувача \(B\), то \(B\) також є другом \(A\). Змiни наступного типу здiйснюються послiдовно, по однiй змiнi за раз: обираються три користувачi \(A\), \(B\) та \(C\) такi, що \(A\) є другом для \(B\) та \(C\), але \(B\) i \(C\) не є друзями; пiсля цього \(B\) та \(C\) стають друзями, але \(A\) перестає бути другом для \(B\) i для \(C\). В усiх iнших парах вiдношення не змiнюються. Спочатку 1010 користувачiв мають по 1009 друзiв кожний, а 1009 користувачiв мають по 1010 друзiв кожний. \( \newline \) Доведiть, що iснує послiдовнiсть змiн, пiсля яких кожен користувач матиме не бiльше одного друга.

У трикутнику \(ABC\) точка \(A_1\) лежить на вiдрiзку \(BC\), а точка \(B_1\) лежить на вiдрiзку \(AC\). Нехай \(P\) i \(Q\) — точки на вiдрiзках \(AA_1\) та \(BB_1\) вiдповiдно, такi, що пряма \(PQ\) паралельна до \(AB\). Точку \(P_1\) вибрано на прямiй \(PB_1\) так, що \(B_1\) знаходиться строго мiж \(P\) i \(P_1\), при цьому \(\angle PP_1C = \angle BAC\). Аналогiчно, точку \(Q_1\) вибрано на прямiй \(QA_1\) так, що \(A_1\) знаходиться строго мiж \(Q\) i \(Q_1\), при цьому \(\angle CQ_1Q = \angle CBA\). \( \newline \) Доведiть, що точки \(P\), \(Q\), \(P_1\) i \(Q_1\) належать одному колу.