\(\qquad\)\(\it{Колумбiйською\ конфiгурацiєю} \) будемо називати такий набiр з \(4027\) точок на площинi, жоднi три з яких не лежать на однiй прямiй, при цьому \(2013\) з них пофарбовано в червоний колiр, а решта \(2014\) – у блакитний. Розглянемо набiр прямих, що роздiляють площину на декiлька областей. Назвемо цей набiр гарним для даної колумбiйської конфiгурацiї точок, якщо виконуються такi умови: \(\newline\)\(\qquad\) • жодна пряма не проходить через жодну точку конфiгурацiї; \(\newline\)\(\qquad\) • жодна область розбиття не мiстить точок обох кольорiв. \(\newline\)\(\qquad\)Знайдiть найменше можливе значення \(k\) таке, що для довiльної колумбiйської конфiгурацiї з \(4027\) точок iснує гарний набiр з \(k\) прямих.
Доведiть, що для будь-якої пари натуральних чисел \(k\) та \(n\) iснують \(k\) (не обов’язково рiзних) натуральних чисел \(m_1,m_2, \ldots, m_k\) таких, що виконується рiвнiсть $$ 1+\frac{2^k-1}n=\left(1+\frac1{m_1}\right)\left(1+\frac1{m_2}\right)\dots\left(1+\frac1{m_k}\right). $$
\(\qquad\)Будемо казати, що прямi на площинi є прямими \( \it{загального\ положення}\), якщо жоднi двi з них не паралельнi i жоднi три з них не проходять через одну точку. Довiльнi декiлька прямих загального положення розбивають площину на частини; \( \it{обмеженими}\) частинами розбиття будемо називати тi з них, якi мають скiнченну площу. \(\newline \)\(\qquad\)Доведiть, що для достатньо велеких значень \(n\) справджується таке твердження: у кожнiй множинi з \(n\) прямих загального положення на площинi можна пофарбувати не менше \( \sqrt{n}\) прямих у синiй колiр так, щоб межа кожної обмеженої частини розбиття не була повнiстю синьою. \(\newline \)\(\qquad\) \(\it{Зауваження}\): за доведення твердження задачi, в якому \( \sqrt{n}\) замiнено на \(c \sqrt{n}\), будуть нараховуватися бали, в залежностi вiд костанти \(c\).
Банк Кейптауна випускає монети номiналом \( \frac {1}{n}\) для кожного цiлого додатнього числа \(n\). Заданий скiнченний набiр таких монет, сума номiналiв яких не перевищує \(99 + \frac{1}{2}\) (номiнали монет не обов’язково рiзнi). \( \newline \)Доведiть, що всi монети можна розбити на \(100\) або меншу кiлькiсть груп так, щоб сума номiналiв монет у кожнiй групi не перевищувала \(1\).
Точки \(P\) i \(Q\) вибранi на сторонi \(BC\) гострокутного трикутника \(ABC\) так, що \(\angle P AB = \angle BCA \) i \(\angle CAQ = \angle ABC\). Точки \(M\) i \(N\) вибранi на променях \(AP\) i \(AQ\) вiдповiдно так, що \(P\) — середина вiдрiзка \(AM\), а \(Q\) — середина вiдрiзка \(AN\). \( \newline \)Доведiть, що прямi \(BM\) i \(CN\) перетинаються на колi, описаному накволо трикутника \(ABC\).
Заданий опуклий чотирикутник \(ABCD\), у якому \( ∠ABC = ∠CDA = 90^{\circ}\). Точка \( H \) — основа перпендикуляра, опущеного з точки \(A\) на пряму \(BD\). Точки \(S\) i \(T\) вибранi на вiдрiзках \(AB\) i \(AD\) вiдподвiдно так, що точка \(H\) знаходиться всерединi трикутника \(SCT\) i виконуються рiвностi $$ \angle CHS − \angle CSB = 90^{\circ}, \angle THC − \angle DTC = 90^{\circ}.$$ \( \newline \)Доведiть, що пряма \(BD\) дотикається до кола, описаного навколо трикутника \(TSH\).
Нехай \(n \ge 2\) — цiле число. Задана шахiвниця \(n \times n\), яка складається з \(n^2\) одиничних клiтинок. Розстановка \(n\) тур в клiтинках шахiвницi називається \( \it{мирною}\), якщо в кожному горизонтальному i в кожному вертикальному ряду знаходиться рiвно по однiй турi. \( \newline \)Знайдiть найбiльше цiле додатнє \(k\) таке, що для кожної мирної розстановки \(n\) тур знайдеться клiтчастий квадрат \(k \times k\), у жоднiй iз \(k^2\) клiтинок якого немає тури.
Нехай \(a_0 \lt a_1 \lt a_2 \lt \ldots \) — нескiнченна послiдовнiсть цiлих додатнiх чисел. \( \newline \) Доведiть, що iснує єдине цiле число \(n \ge 1\) таке, що $$ a_n \lt \frac{a_0 + a_1 + \ldots + a_n}{n} \le a_{n+1}. $$
Послiдовнiсть \( a_1, a_2, \ldots \) цiлих чисел задовольняє такi умови: \( \newline \) (i) \( 1 \le a_j \le 2015 \) для всiх \( j \ge 1\); \( \newline \) (ii) \( k + a_k \ne ℓ + a_ℓ \) для всiх \(1 \le k \lt ℓ\). \( \newline \) Доведiть, що iснують два натуральних числа \(b\) i \(N\) такi, що $$ \left| \sum_{j = {m+1}} ^{n}{(a_j − b)} \right| \le 1007^2 $$ для всiх цiлих чисел \(m\) i \(n\), що задовольняють умову \(n \gt m \ge N\).
Нехай \( \R\) – множина всiх дiйсних чисел. Знайдiть усi функцiї \(f : \R → \R\), що задовольняють рiвнiсть $$ f(x + f(x + y)) + f(xy) = x + f(x + y) + yf(x) $$ для довiльних дiйсних чисел \(x\) i \(y\).