Скiнченну множину \(S\) точок на площинi будемо називати \( \it{збалансованою}\), якщо для довiльних рiзних точок \(A\) i \(B\) з множини \(S\) знайдеться така точка \(C\) з множини \(S\), що \(AC = BC\). Множину \(S\) будемо називати \( \it{ексцентричною}\), якщо для довiльних трьох рiзних точок \(A\), \(B\) i \(C\) з множини \(S\) не iснує такої точки \(P\) з множини \(S\), що \(PA = PB = PC\). \( \newline \)(а) Доведiть, що для довiльного цiлого \(n \ge 3\) iснує збалансована множина, що складається з \(n\) точок. \( \newline \) (б) Знайдiть всi цiлi \(n \ge 3\), для яких iснує збалансована ексентрична множина, що складається з \(n\) точок.
| Attributes | Олімпіадна |
|---|---|
| Source | International Mathematical Olympiad |
| Year | 2015 |
| Number | 1 |
| Difficulty | 10.0 |
| Themes |