Мисливець i невидимий кролик грають у таку гру на площинi. Початкова точка \(A_0\) кролика i початкова точка \(B_0\) мисливця спiвпадають. Нехай пiсля \(n – 1\) раунду гри кролик знаходиться у точцi \(A_{n−1}\), а мисливець – у точцi \(B_{n−1}\). Тодi в \(n\)-му раундi гри послiдовно виконуються такi три дiї: \( \newline \)(1) Кролик, залишаючись невидимим, перемiщується в точку \(A_n\) таку, що вiдстань мiж точками \(A_{n-1}\) i \(A_n\) дорiвнює \(1\). \( \newline \)(2) Слiдкуючий пристрiй повiдомляє мисливцю деяку точку \(P_n\). При цьому, слiдкуючий пристрiй гарантує лише те, що вiдстань мiж точками \(P_n\) i \(A_n\) не бiльша за \(1\). \( \newline \)(3) Мисливець, залишаючись видимим, перемiщується в точку \(B_n\) таку, що вiдстаннi мiж точками \(B_{n−1}\) i \(B_n\) дорiвнює \(1\). \( \newline \) Чи завжди можливо мисливцю, при довiльних перемiщеннях кролика i довiльних повiдомлених слiдкуючим пристроєм точках, вибрати свої перемiщення таким чином, щоб пiсля \(10^9\) раундiв вiн мiг гарантувати, що вiдстань мiж ним i кроликом не бiльша за \(100\)?

Нехай \( \mathbb{R} \) – множина всiх дiйсних чисел. Знайдiть усi функцiї \(f\) : \(\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) такi, що для всiх дiйсних \(x\) i \(y\) справджується рiвнiсть $$f (f(x)f(y)) + f(x + y) = f(xy).$$

Для довiльного цiлого \(a_0\gt 1\) визначимо послiдовнiсть \( a_0, a_1, a_2, \ldots \) таким чином: $$ a_n + 1 = \left\{ \begin{array}{lr} \sqrt{a_n}\text {, якщо } \sqrt a_n \text { – ціле число,} \\ a_n + 3 \text{, в протилежному випадку,} \\ \end{array} \right. \text{для усiх } n \gt 0 $$ Знайдiть всi значення \(a_0\), при яких iснує число \(A\) таке, що \(a_n = A\) для нескiнченної кiлькостi значень \(n\).

Доведіть, що існує додатна константа $c$, для якої справджується таке твердження: Нехай $S$ – множина з $n > 1$ точок площини, у якій відстані між довільними двома точками не менше за $1$. Тоді існує пряма $ℓ$, що розділяє множину $S$, така що відстань від довільної точки $S$ до $ℓ$ не менше ніж $cn^{−1/3}$. (Пряма $ℓ$ розділяє множину точок $S$, якщо вона перетинає деякий відрізок, кінці якого належать $S$.) Зауваження. Більш слабкі результати з заміною $cn^{−1/3}$ на $cn−α$ можуть оцінюватися в залежності від значень константи $α > 1/3$.

Маємо $n > 1$ карток, на кожній з яких записано натуральне число. Виявилося, що для довільних двох карток середнє арифметичне записаних на них чисел дорівнює середньому геометричному чисел, записаних на картках деякого набору, що складається з однієї або більше карток. При яких $n$ з цього випливає, що всі числа, записані на картках, рівні?

Задано ціле число $n > 1$. На горном схилі на попарно різних висотах розташовано $n^2$ станцій фунікулеру. Кожна з двох компаній $A$ та $B$ володіє $k$ підйомниками. Кожний підйомник виконує регулярний трансфер (без пересадок) з однієї зі станцій на іншу, що розташована вище. $k$ трансферів компані $A$ починаються на $k$ різних станціях; також вони закінчуються на $k$ різних станціях; при цьому трансфер, який починається вище, закінчується теж вище. Ті саме умови виконано для компанії B. Будем казати, що дві станції пов’язані компанією, якщо можна дістатися з нижньої станції до верхньої, використовуючи один чи декілька трансферів цієї компанії (інші пересування між станціями заборонено). Знайдіть найменше $k$, при якому гарантовано знайдуться дві станції, що пов’язані обома компаніями.

Всередині опуклого чотирикутника $ABCD$ знайшлася точка $P$ така, що справджується рівності ${∠P AD : ∠P BA : ∠DP A = 1 : 2 : 3 = ∠CBP : ∠BAP : ∠BP C}$. Доведіть, що три такі прямі перетинаються в одній точці: внутрішні бісектриси кутів $∠ADP$ і $∠PCB$ та серединний перпендикуляр до відрізку $AB$.

Маємо $4n$ камінців вагою $1, 2, 3, . . . , 4n$. Кожний з камінців пофарбовано в один з $n$ кольорів, причому маємо по $4$ камінці кожного кольору. Доведіть, що камінці можна розділити на дві купки рівної сумарної ваги так, щоб в кожній купці було по два камінці кожного кольору.

Задано дійсні числа $a, b, c, d$ такі, що $a \geq b \geq c \geq d > 0$ і $a + b + c + d = 1$. Доведіть, що $(a + 2b + 3c + 4d) a^{a}b^{b}c^{c}d^{d} < 1$.

Для натуральних $a,b,c$ виявилося, що числа $\sum\limits_{cyc} \frac{a}{b}$ та $\sum\limits_{cyc} \frac{b}{a}$ цілі. Доведіть, що $a=b=c$.