\(\qquad\)Нехай \(n\) – натуральне число. Розглянемо множину $$ S=\left\{(x,\;y,\;z)\;:\;x,\;y,\;z\in\left\{0,\;1,\;\dots,\;n\right\},\; x+y+z \gt 0 \right\}, $$ яка складається з \((n+1)^3\;–\;1\) точок тривимірного простору. \(\\\qquad\)Знайдіть найменшу можливу кількість площин, об’єднання яких містить всі точки з \(S\), проте не містить точку \(\left(0,\;0,\;0\right)\).
\(\qquad\)Натуральні число \(a\) i \(b\) такі, що число \((4a^2 − 1)^2\) ділиться на \(\left(4ab\;–\;1\right)\). \(\\\qquad\)Доведіть, що \(a = b\).
\(\qquad\)Бісектриса кута \(BCA\) трикутника \(ABC\) вдруге перетинає його описане коло у точці \(R\), а серединні перпендикуляри до сторін \(BC\) i \(AC\) – у точках \(P\) i \(Q\) відповідно. Точки \(K\) i \(L\) – середини відрізків \(BC\) i \(AC\) відповідно. \(\\\qquad\)Доведіть, що площі трикутників \(RPK\) i \(RQL\) рівні.
\(\qquad\)Деякі учасники математичного змагання товаришують один з одним, причому якщо \(A\) товаришує з \(B\), то й \(B\) товаришує з \(A\). Назвемо групу учасників \(\it{клікою},\) якщо кожні двоє з неї товаришують. (Зокрема, довільна група, що складається менш, ніж з двох людей, є клікою). Назвемо кількість людей у кліці її \(\it{розміром}\). \(\\\qquad\)Відомо, що найбільший розмір кліки, що складається з учасників змагання, є парним числом. Доведіть, що можливо розсадити усіх учасників у дві кімнати таким чином, щоб найбільший розмір кліки в одній кімнаті дорівнював найбільшому розміру кліки у другій кімнаті.
\(\qquad\)Задано п’ять точок \(A, B, C, D, E\) таким чином, що \(ABCD\) є паралелограмом, а навколо трикутника \(BCED\) можна описати коло. Пряма \(\ell\) проходить через точку \(A\), перетинає відрізок \(DC\) у його внутрішній точці \(F\), а пряму \(BC\) – у точці \(G\). Припустимо, що \(EF = EG = EC\). \(\\\qquad\)Доведiть, що пряма \(\ell\) є бісектрисою кута \(DAB\).
\(\qquad\)Дані дійсні числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Для кожного \(i \;(1 \le i \le n)\) покладемо $$ d_i=max\left\{a_j\;:\;1\leq j\leq i\right\} \;–\; min\left\{a_j\;:\;i\leq j\leq n\right\}.$$ Нехай $$d = max\left\{d_i\;:\;1\leq i\leq n\right\}.$$ \(\qquad\)(a) Доведiть, що для довільних дійсних чисел \(x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n\) виконується нерівність $$ d_i=max\left\{\left|x_i-a_i\right|\;:\;1\leq i\leq n\right\}\geq\frac d2. \qquad \qquad (∗)$$ \(\qquad\)(b) Покажіть, що існують такі дійсні числа \(x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n\), для яких нерівність (∗) обертається у рівність.
\(\qquad\)Нехай \(ABCD\) — опуклий чотирикутник, у якому \( \left|BA\right|\neq\left|BC\right|\). Позначимо кола, що вписанi в трикутники \(ABC\) та \(ADC\), через \(ω_1\) та \(ω_2\) вiдповiдно. Припустимо, що iснує коло \(ω,\) яке дотикається до продовження вiдрiзка \(BA\) за точку \(A,\) продовження вiдрiзка \(BC\) за точку \(C,\) i також дотикається до прямих \(AD\) та \(CD\). \(\\\qquad\)Доведiть, що спiльнi зовнiшнi дотичнi до кiл \(ω_1\) та \(ω_2\) перетинаються на колi \(ω\).
\(\qquad\)Нехай \(n\) та \(k\) — такi натуральнi числа, що \(k \gt n,\) а число \(k\; –\;n\) парне. Є \(2n\) ламп, якi занумерованi числами \(1, 2, \ldots, 2n,\) кожна з яких може знаходитись у одному з двох станiв: \(\it{увiмк.}\) (увiмкнена) або \(\it{вимк.}\) (вимкнена). Спочатку всi лампи були вимненi. Розглядаються впорядкованi послiдовності \(\it{крокiв}\): на кожному кроцi рiвно одна лампа змiнює свiй стан на протилежний (з увiмк. на вимк. або з вимк. на увiмк.). \(\\\qquad\)Позначимо через \(N\) число таких послiдовностей з \(k\) крокiв, що приводять до стану: усi лампи з \(1\)-ї по \(n\)-ту увiмкненi, а усi лампи з \(\left(n+1\right)\)-ї по \(\left(2n\right)\)-у вимкненi. Позначимо через \(M\) число таких послiдовностей з \(k\) крокiв, що приводять до стану: усi лампи з \(1\)-ї по \(n\)-ту увiмкненi, усi лампи з \(\left(n+1\right)\)-ї по \(\left(2n\right)\)-у вимкненi, але при цьому жодна з ламп з \(\left(n+1\right)\)-ї по \(\left(2n\right)\)-у нi разу не змiнювала свого стану. Знайдiть значення вiдношення \(N/M\).
\(\qquad\)Знайдiть усi функцiї \(f\): \((0,\;+\infty)\;\rightarrow\;(0,\;+\infty)\;\) (тобто функцiї, що визначенi на множинi усiх додатних дiйсних чисел та приймають додатнi значення) такi, що $$ \frac{\left(f(w)\right)^2+\;\left(f(x)\right)^2}{f(y^2)\;+\;f(z^2)}\;=\;\frac{w^2\;+\;x^2}{y^2\;+\;z^2} $$ для довiльних додатних \(w, x, y, z,\) якi задовольняють рiвнiсть \(wx = yz\).
\(\qquad\)Доведiть, що iснує нескiнченно багато таких натуральних чисел \(n\), що число \(n^2 + 1\) має простий дiльник, бiльший за \(2n + \sqrt{2n}\).