Determine all positive integers relatively prime to all the terms of the infinite sequence $$a_n = 2^n + 3^n + 6^n − 1, n \ge 1.$$
Let \(x, y, z\) be three positive reals such that \(xyz \ge 1\). Prove that $$ \frac{x^5\;-\;x^2}{x^5\;+\;y^2\;+\;z^2}\;+\;\frac{y^5\;-\;y^2}{x^2\;+\;y^5\;+\;z^2}\;+\;\frac{z^5\;-\;z^2}{x^2\;+\;y^2\;+\;z^5}\;\geq\;0. $$
\(\qquad\)Let \(a_1, a_2, \ldots\) be a sequence of integers with infinitely many positive and negative terms. Suppose that for every positive integer \(n\) the numbers \(a_1, a_2, \ldots\), an leave \(n\) different remainders upon division by \(n\). \(\\\qquad\)Prove that every integer occurs exactly once in the sequence \(a_1, a_2, \ldots\).
\(\qquad\)Six points are chosen on the sides of an equilateral triangle \(ABC\): \(A_1, A_2\) on \(BC, B_1, B_2\) on \(CA\) and \(C_1, C_2\) on \(AB,\) such that they are the vertices of a convex hexagon \(A_1A_2B_1B_2C_1C_2\) with equal side lengths. \(\\\qquad\)Prove that the lines \(A_1B_2,\) \(B_1C_2\) and \(C_1A_2\) are concurrent.
\(\qquad\)Кожній стороні \(b\) опуклого многокутника \(P\) поставлено у відповідність найбільшу з площ трикутників, які містяться в \(P\), та одна із сторін яких співпадає з \(b\). \(\\\qquad\)Доведіть, що сума площ, які відповідають усім сторонам \(P\), не менша за подвоєну площу многокутника \(P\).
\(\qquad\)Нехай \(P(x)\) – многочлен степеня \(n \gt 1\) з цілими коефіцієнтами, \(k\) – довільне натуральне число. Розглянемо многочлен $$ Q(x)=P\left(P\left(\dots P\left(P(x)\right)\dots\right)\right) $$ (тут \(P\) застосовується \(k\) разів). \(\\\qquad\)Доведіть, що існує не більше, ніж \(n\) цілих чисел \(t\) таких, що \(Q(t) = t\).
Знайдіть усі пари \(\left(x, y\right)\) цілих чисел такі, що $$ 1+2^x+2^{2x+1} = y^2. $$
Визначте найменше дійсне число \(M\) таке, що нерівність $$ \left|ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)\right|\leq M\left(a^2+b^2+c^2\right)^2 $$ виконується для будь-яких дійсних чисел \(a, b, c\).
\(\qquad\)Діагональ правильного \(2006\)-кутника \(P\) називається \(\it{доброю},\) якщо її кінці поділяють межу \(P\) на дві частини, кожна з яких містить непарне число сторін. Сторони \(P\) також називаються \(\it{добрими.}\) \(\\\qquad\)Нехай \(P\) розбивається на трикутники \(2003\) діагоналями, жодні дві з яких не мають спільних точок усередині \(P\). \(\\\qquad\)Яку найбільшу кількість рівнобедрених трикутників, кожний з яких має дві \(\it{добрі}\) сторони, може містити таке розбиття?
\(\qquad\)Точка \(I\) – центр вписаного кола трикутника \(ABC\). Усередині трикутника вибрано точку \(P\) таку, що $$\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB. $$ \(\\\qquad\) Доведіть, що \(PA \ge AI,\) причому рівність досягається тоді й тільки тоді, коли точка \(P\) співпадає з \(I\).