\(\qquad\)Нехай \(n\) та \(k\) — такi натуральнi числа, що \(k \gt n,\) а число \(k\; –\;n\) парне. Є \(2n\) ламп, якi занумерованi числами \(1, 2, \ldots, 2n,\) кожна з яких може знаходитись у одному з двох станiв: \(\it{увiмк.}\) (увiмкнена) або \(\it{вимк.}\) (вимкнена). Спочатку всi лампи були вимненi. Розглядаються впорядкованi послiдовності \(\it{крокiв}\): на кожному кроцi рiвно одна лампа змiнює свiй стан на протилежний (з увiмк. на вимк. або з вимк. на увiмк.). \(\\\qquad\)Позначимо через \(N\) число таких послiдовностей з \(k\) крокiв, що приводять до стану: усi лампи з \(1\)-ї по \(n\)-ту увiмкненi, а усi лампи з \(\left(n+1\right)\)-ї по \(\left(2n\right)\)-у вимкненi. Позначимо через \(M\) число таких послiдовностей з \(k\) крокiв, що приводять до стану: усi лампи з \(1\)-ї по \(n\)-ту увiмкненi, усi лампи з \(\left(n+1\right)\)-ї по \(\left(2n\right)\)-у вимкненi, але при цьому жодна з ламп з \(\left(n+1\right)\)-ї по \(\left(2n\right)\)-у нi разу не змiнювала свого стану. Знайдiть значення вiдношення \(N/M\).
| Attributes | Олімпіадна |
|---|---|
| Source | International Mathematical Olympiad |
| Year | 2008 |
| Number | 5 |
| Difficulty | 10.0 |
| Themes |