\(\qquad\)(a) Доведiть, що нерiвнiсть $$ \frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}\;+\frac{z^2}{(z-1)^2}\;\geq\;1 $$ виконується для усiх вiдмiнних вiд \(1\) дiйсних чисел \(x, y, z\) таких, що \(xyz = 1\). \(\\\qquad\)(b) Доведiть, що вказана нерiвнiсть обертається на рiвнiсть для нескiнченої кiлькостi трiйок вiдмiнних вiд \(1\) рацiональних чисел \(x, y, z\) таких, що \(xyz = 1\).
\(\qquad\)Нехай \(H\) — точка перетину висот гострокутного трикутника \(ABC\). Коло з центром у серединi сторони \(BC\) проходить через точку \(H\) та перетинає пряму \(BC\) у точках \(A_1\) та \(A_2\). Аналогiчно, коло з центром у серединi строни \(CA\) проходить через точку \(H\) та перетинає пряму \(CA\) у точках \(B_1\) та \(B_2\), коло з центром у серединi сторони \(AB\) проходить через точку \(H\) та перетинає пряму \(AB\) у точках \(C_1\) та \(C_2\). \(\\\qquad\)Доведiть, що точки \(A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2\) лежать на одному колi.
\(\qquad\) Дані попарно різні натуральні числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n,\) а також множина \(M,\) яка складається з \(n – 1\) натурального числа, але не містить число \(s = a_1 + a_2 + \ldots + a-n\). Коник має зробити \(n\) стрибків праворуч вздовж числової прямої, починаючи з точки з координатою \(0\). Прицьому довжини його стрибків мають дорівнювати числам \(a_1, a_2, \ldots, a_n,\) узятим у деякому порядку. \(\\\qquad\)Доведіть, що цей порядок можна вибрати таким чином, щоб коник жодного разу не приземлився у точці, яка має координату з множини \(M\).
\(\qquad\)Знайдіть усі функції \(f\): \(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) (тобто функції, які визначені на множині усіх натуральних чисел та приймають натуральні значення) такі, що для будь-яких натуральних чисел\(a\) та \(b\) існує невироджений трикутник, довжини сторін якого дорівнюють трьом числам $$ a, f(b) \;\; и \;\; f(b + f(a) − 1)$$. \(\\\qquad\) (Трикутник називається \(\it{невиродженим},\) якщо його вершини не лежать на одній прямій).
\(\qquad\)Трикутник \(ABC\) такий, що \(AB = AC\). Бісектриси кутів \(CAB\) та \(ABC\) перетинають сторони \(BC\) та \(CA\) в точках \(D\) та \(E\) відповідно. Позначимо через \(K\) центр кола, що вписане в трикутник \(ADC\). Виявилось, що \(\angle BEK = 45^{\circ}\). \(\\\qquad\)Знайдіть усі можливі значення кута \(CAB\).
\(\qquad\)Дано строго зростаючу послідовність натуральних чисел \(s_1, s_2, s_3, \ldots\) таку, що кожна з двох послідовностей $$ s_{s_1},\;s_{s_2},\;s_{s_3},\;\dots\;та\;s_{s_1+1},\;s_{s_2+1},\;s_{s_3+1},\;\dots$$ є арифметичною прогресією.\(\\\qquad\)Доведіть, що послідовність \(s_1, s_2, s_3, \ldots\) теж є арифметичною прогресією.
\(\qquad\)Точка \(O~\)– центр кола, що описане навколо трикутника \(ABC\). Нехай \(P\) та \(Q\) – внутрішні точки сторін \(CA\) та \(AB\) відповідно. Точки \(K, L\) та \(M\) – середини відрізків \(BP, CQ\) та \(PQ\) відповідно, а \(\Gamma~–\) це коло, що проходить через точки \(K, L\) та \(M\). Відомо, що, пряма \(PQ\) дотикається до кола \(\Gamma\). \(\\\qquad\)Доведіть, що \(OP = OQ\).
\(\qquad\)Дано натуральне число \(n\) та попарно натуральні числа \(a_1, \ldots, a_k (k \ge 2)\) з множини \(\left\{1, \ldots, n\right\}\) такі, що для кожного \(i = 1, \ldots, k – 1\) число \(a_i(a_{i+1} − 1)\) ділитьcя на \(n\). \(\\\qquad\)Доведіть, що число \(a_k(a_1 − 1)\) не ділиться на \(n\).
\(\qquad\)Задано послiдовнiсть \(a_1, a_2, a_3, \ldots,\) яка складається з додатних дiйсних чисел. Вiдомо, що для деякого фiксованого натурального \(s\) при всiх \(n \gt s\) має мiсце рiвнiсть $$a_n=max\left\{a_k+a_{n-k}\;\vert\;1\leq k\leq n-1\right\}.$$ \(\qquad\)Доведiть, що iснують натуральнi числа \( \ell\) i \(N\) такi, що \( \ell \le s\) i \(a_n = a_\ell + a_{n−\ell}\) при всiх \(n \ge N\).
\(\qquad\)В початковий момент у кожнiй з шести коробок \(B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6\) знаходиться рiвно по однiй монетi. Дозволяється виконувати операцiї наступних двох типiв: \(\\\qquad\)Тип 1: Вибрати непорожню коробку \(B_j,\) де \(1 \le j \le 5,\) видалити з неї одну монету i додати двi монети в коробку \(B_{j+1}\). \(\\\qquad\)Тип 2: Вибрати непорожню коробку \(B_k,\) де \(1 \le k \le 4,\) видалити з неї одну монету i помiняти мiсцями вмiст коробки \(B_{k+1}\) (можливо порожнiй) з вмiстом коробки \(B_{k+2}\) (можливо порожнiм). \(\\\qquad\)Чи iснує скiнченна послiдовнiсть таких операцiй, що призводить до ситуацiї, у якiй коробки \(B_1, B_2, B_3, B_4, B_5\) стануть порожнiми, а в коробцi \(B_6\) буде знаходитись рiвно \(2010^{2010^{2010}}\) монет? (За означенням \( a^{b^c}\;=\;a^{(b^c)}\)).