\(\qquad\)Дані дійсні числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Для кожного \(i \;(1 \le i \le n)\) покладемо $$ d_i=max\left\{a_j\;:\;1\leq j\leq i\right\} \;–\; min\left\{a_j\;:\;i\leq j\leq n\right\}.$$ Нехай $$d = max\left\{d_i\;:\;1\leq i\leq n\right\}.$$ \(\qquad\)(a) Доведiть, що для довільних дійсних чисел \(x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n\) виконується нерівність $$ d_i=max\left\{\left|x_i-a_i\right|\;:\;1\leq i\leq n\right\}\geq\frac d2. \qquad \qquad (∗)$$ \(\qquad\)(b) Покажіть, що існують такі дійсні числа \(x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n\), для яких нерівність (∗) обертається у рівність.
| Attributes | Олімпіадна |
|---|---|
| Source | International Mathematical Olympiad |
| Year | 2007 |
| Number | 1 |
| Difficulty | 10.0 |
| Themes |