Нехай \(Z\) — множина всiх цiлих чисел. Знайдiть усi функцiї \(f\): \(Z\to Z\) такi, що для будь-яких цiлих чисел \(a\) i \(b\) справджується рiвнiсть \(f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b))\).
Опуклий чотирикутник \(ABCD\) задовольняє умову \(AB \cdot CD = BC \cdot DA\). Точка \(X\) всередині чотирикутника \(ABCD\) така, що \(\angle XAB = \angle XCD\) i \(\angle XBC = \angle XDA\). \( \newline \) Доведіть, що \(\angle BXA + \angle DXC = 180^{\circ} \)
Нехай \( a_1, a_2, \ldots \) — нескінченна послідовність натуральних чисел. Припустимо, що існує ціле число \(N \gt 1\) таке, що для кожного \(n \ge N\) число \({a_1}\over{a_2}\)+\({a_2}\over{a_3}\) +\( \ldots \)+ \(a_{{n-1}}\over{a_n}\)+ \({a_n}\over{a_1}\) є цілим. \( \newline \) Доведіть, що існує натуральне число \(M\) таке, що \(a_m = a_{m+1}\) для усіх \(m \ge M\).
На координатній площині відмічені всі точки \((x, y)\) з натуральними координатами \(x\) i \(y\), що не перевищують 20. \( \newline \) Спочатку кожна з 400 відмічених точок не зайнята. Аліна i Богдан грають у таку гру: вони по черзі кладуть камінці у ще не зайняті відмічені точки, Аліна розпочинає першою. Своїм ходом Аліна має покласти новий червоний камінець у відмічену не зайняту точку таким чином, щоб відстань між довільними двома точками з червоними камінцями не дорівнювала \(\sqrt 5\). Своїм ходом Богдан кладе новий синій камінець у довільну відмічену не зайняту точку. (Точка з синім камінцем може знаходитись на будь-якій відстані від довільної іншої зайнятої точки.) Гра припиняється, коли один з гравців не може покласти камінець. \( \newline \) Знайдіть найбільше значення \(K\), для якого Аліна гарантовано зможе покласти принаймні \(K\) червоних камінців, не зважаючи на ходи Богдан.
Антипаскалів трикутник — це таблиця, що має вигляд рівностороннього трикутника, у якій кожне число, за виключенням чисел нижнього рядка, дорівнює модулю різниці двох чисел, що стоять безпосередньо під ним. Нижче наведено приклад антипаскалева трикутника з чотирьох рядків, у якому зустрічаються усі натуральні числа від \(1\) до \(10\). $$4$$ $$\text{2 6}$$ $$\text{5 7 1}$$ $$\text{8 3 10 9}$$ Чи існує антипаскалів трикутник з 2018 рядків, у якому зустрічаються усі натуральні числа від \(1\) до \(1 + 2 + \ldots + 2018\)?
Знайдіть усі цілі числа \(n \ge 3\), для яких існують дійсні числа \(a_1, a_2, \ldots , a_{n+2}\) такі, що \( a_{n+1}= a_1, a_{n+2} = a_2\) i \(a_i \text{ } a_{i+1} + 1 = a_{i+2}\) при всіх \( i = 1, 2, \ldots , n\).
Нехай \(\Gamma \) — описане коло гострокутного трикутника \(ABC\). Точки \(D\) i \(E\) лежать на відрізках \(AB\) i \(AC\) відповідно, при цьому \(AD\) = \(AE\). Серединні перпендикуляри до відрізків \(BD\) i \(CE\) перетинають менші дуги \(AB\) i \(AC\) кола \(\Gamma \) у точках \(F\) i \(G\) відповідно. \( \newline \) Доведіть, що прямі \(DE\) i \(FG\) паралельні або співпадають.
Впорядкована пара \((x, y)\) цiлих чисел називається \(\it{примiтивною}\) \(\it{точкою}\), якщо найбiльший спiльний дiльник чисел \(x\) i \(y\) дорiвнює \(1\). Задано скiнчену множину \(S\) примiтивних точок. Доведiть, що iснують натуральне \(n\) i цiлi \(a_0, a_1, \ldots , a_n\) такi, що для кожної примiтивної точки \( (x, y)\) з \(S\) справджується рiвнiсть \(a_0 x^n + a_1 x^{n−1} y + a_2 x^{n−2} y^2 + \ldots + a_{n−1} x y^{n−1} + a_n y^n = 1\).
Задане цiле число \(N \ge 2\). Команда, що складається з \( N(N + 1) \) футболiстiв, кожнi двоє з яких мають рiзний зрiст, вишикувана в ряд. Тренер бажає прибрати з ряду \( N(N − 1) \) гравцiв так, щоб для решти ряду з \(2N\) гравцiв справджувались такi \(N\) умов: \( \newline \) \((1)\) нiхто не стоїть мiж двома найвищими гравцями, \( \newline \) \((2)\) нiхто не стоїть мiж третiм i четвертим за зрiстом гравцями, \( \newline \) \( \ldots \) \( \newline \) \((N)\) нiхто не стоїть мiж двома найнижчими гравцями. \( \newline \) Доведiть, що це завжди можна зробити.
Нехай \(R\) i \(S\) – двi рiзнi точки на колi \(\Omega \) такi, що вiдрiзок \(RS\) не є дiаметром. Нехай \(\ell \) – дотична до \(\Omega \) в точцi \(R\). Точка \(T\) обрана так, що точка \(S\) є серединою вiдрiзка \(RT\). Точка \(J\) вибрана на меншiй дузi \(RS\) кола \(\Omega \) так, що коло \(\Gamma \), яке описане навколо трикутника \(JST\), перетинає \(\ell \) в двох рiзних точках. Нехай \(A\) – та iз спiльних точок \(\Gamma \) i \(\ell \), що знаходиться ближче до точки \(R\). Пряма \(AJ\) вдруге перетинає \(\Omega \) в точцi \(K\). \( \newline \) Доведiть, що пряма \(KT\) дотикається до кола \(\Gamma \) .