\(\qquad\)Знайдiть всi натуральнi числа \(n\), для яких iснують такi невiд’ємнi цiлi числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), що $$ \frac1{2^{a_1}}+\frac{\displaystyle1}{\displaystyle2^{a_2}}+\dots+\frac{\displaystyle1}{\displaystyle2^{a_n}}=\frac{\displaystyle1}{\displaystyle3^{a_1}}+\frac{\displaystyle2}{\displaystyle3^{a_2}}+\dots+\frac{\displaystyle n}{\displaystyle3^{a_n}}=1. $$

\(\qquad\)Нехай \(ABC\) — трикутник, у якому \( \angle BCA = 90^{\circ}\), \(D\) — основа висоти, проведеної з вершини \(C\). В серединi вiдрiзку \(CD\) взято точку \(X\). Точка \(K\) на вiдрiзку \(AX\) така, що \(BK = BC\). Аналогiчно, точка \(L\) на вiдрiзку \(BX\) така, що \(AL = AC\). Нехай \(M\) — точка перетину \(AL\) i \(BK\). \(\\ \qquad\)Доведiть, що \(MK = ML\).

\(\qquad\)Знайдiть усi такi функцiї \(f\): \(\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z},\) що для довiльних цiлих \(a, b, c,\) якi задовольняють умову \(a + b + c = 0,\) виконано рiвнiсть $$ f(a)^2\;+\;f(b)^2\;+\;f(c)^2\;=\;2f(a)f(b)\;+\;2f(b)f(c)\;+\;2f(c)f(a).$$ (Тут \(\mathbb{Z}\) позначає множину цiлих чисел).

\(\qquad\)Два гравцi \(A\) та \(B\) грають у гру \(\it{Ти\ ж\ мене\ пiдманула}\). Правила цiєї гри залежать вiд двох натуральних чисел \(k\) та \(n\), якi вiдомi обом гравцям. \(\newline\)\(\qquad\)На початку гри \(A\) обирає натуральнi числа \(x\) i \(N\), для яких \(1 \le x \lt N\). Гравець \(A\) зберiгає число \(x\) у таємницi, а число \(N\) правдиво повiдомляє гравцю \(B\). Гравець \(B\) пiсля цього намагається отримати iнформацiю про \(x\), задаючи гравцю \(A\) питання наступним чином: перед кожним питанням \(B\) вказує довiльну множину \(S\) натуральних чисел (можливо, вже вказану в попередньому питаннi) та питає \(A\), чи належить \(x\) множинi \(S\). Гравець \(B\) може запитати стiльки питань, скiльки вiн захоче. На кожне задане \(B\) питання гравець \(A\) мусить одразу вiдповiдати \(\it{так}\) чи \(\it{нi}\), але йому дозволяється збрехати стiльки разiв, скiльки він забажає. Єдине обмеження — iз будь-яких \(k + 1\) послiдовних вiдповiдей принаймнi одна має бути правдивою. \(\newline\)\(\qquad\)Пiсля того, як \(B\) задав стiльки запитань, скiльки вiн уважав за потрiбне, вiн мусить указати множину \(X\) з щонайбiльше \(n\) натуральних чисел. Якщо \(x\) належить \(X\), то \(B\) перемагає; iнакше вiн програє. Доведiть, що: \(\newline\)\(\qquad\)1. Якщо \(n \ge 2^k\), то \(B\) має виграшну стратегiю. \(\newline\)\(\qquad\)2. Для довiльного достатньо великого \(k\) знайдеться таке цiле число \(n \ge 1.99^k\), що \(B\) не має виграшної стратегiї.

Дано цiле число \(n \ge 3\) i такi додатнi дiйснi числа \(a_2, a_3, \ldots , a_n,\) що \(a_2a_3 \ldots a_n = 1\). Доведiть, що $$ (1\;+\;a_{{}^2})^{\;2}\;(1\;+\;a_{{}^3})\;^3\;\dots(1\;+\;a_n)^{\;n}\;>\;n^n.$$

Для трикутника \(ABC\) точка \(J\) є центром зовнi вписаного кола напроти вершини \(A\). Це зовнi вписане коло дотикається до сторони \(BC\) у точцi \(M\) i до прямих \(AB\) та \(AC\) у точках \(K\) та \(L\) вiдповiдно. Прямi \(LM\) i \(BJ\) перетинаються у точцi \(F\), а прямi \(KM\) i \(CJ\) перетинаються у точцi \(G\). Нехай \(S\) — точка перетину прямих \(AF\) i \(BC\), а точка \(T\) — точка перетину прямих \(AG\) i \(BC\). \( \newline \)Доведiть, що точка \(M\) дiлить вiдрiзок \(ST\) навпiл. \( \newline\) (\(\it{Зовнi\ вписане\ коло}\) трикутника \(ABC\) напроти вершини \(A\) — це коло, що дотикається до сторони \(BC\) i продовжень сторiн \(AB\) i \(AC\).)

Нехай \(n \ge 3\) – цiле число. Розглянемо коло i \(n + 1\) точку на ньому, що дiлять його на рiвнi дуги. Розглянемо всi способи позначити цi точки числами \(0, 1, \ldots, n\) так, що кожне число використовується рiвно один раз. Два способи, що вiдрiзняються поворотом, вважаються однаковими. \( \newline \)Спосiб позначення назвемо \(\it{чудовим}\), якщо для довiльних чотирьох мiток \(a \lt b \lt c \lt d\) таких, що \(a + d = b + c\), хорда, що з’єднує вершини з мiтками \(a\) i \(d\), не перетинає хорду, що з’єднує точки з мiтками \(b\) i \(c\). Нехай \(M\) – кiлькiсть чудових способiв позначення. Нехай \(N\) – кiлькiсть упорядкованих пар \((x, y)\) натуральних чисел, що задовольняють умови \(x + y \lt n\) i \(НСД(x, y) = 1\). \( \newline \)Доведiть, що $$ M = N + 1.$$

Позначимо через \( \mathbb{Q}_{\gt0}\) множину всiх додатнiх рацiональних чисел. Нехай \(f\): \( \mathbb{Q}_{\gt0} \rightarrow \R \) – функцiя, що задовольняє такi умови: \( \newline \)(i) для всiх \(x, y \in \mathbb{Q}_{\gt0}\) виконується нерiвнiсть \( f(x)f(y) \ge f(xy)\); \( \newline \)(ii) для всiх \(x, y \in \mathbb{Q}_{\gt0}\) виконується нерiвнiсть \(f(x + y)\ge f(x) + f(y)\); \( \newline \)(iii) iснує рацiональне число \(a \gt 1\) таке, що \(f(a) = a\). \( \newline \)Доведiть, що \(f(x) = x\) для всiх \(x \in \mathbb{Q}_{\gt0}\).

Нехай \(H\) – точка перетину висот гострокутного трикутника \(ABC\). Нехай \(W\) – довiльна точка на вiдрiзку \(BC\), що вiдмiнна вiд \(B\) i \(C\). Позначимо через \(M\) i \(N\) основи висот трикутника \(ABC\), що проведенi з вершин \(B\) i \(C\), вiдповiдно. Нехай \(\omega_1\) описане коло трикутника \(BWN\), а \(X\) – така точка на \(\omega_1\), що \(WX\) – дiаметр \(\omega_1\). Аналогiчно, нехай \(\omega_2\) – описане коло трикутника \(CWM\), і \(Y\) – така точка на \(\omega_2\), що \(WY\) – дiаметр \(\omega_2\). \( \newline \)Доведiть, що точки \(X, Y\) i \(H\) лежать на однiй прямiй.

Нехай зовнiвписане коло трикутника \(ABC,\) що лежить навпроти вершини \(A,\) дотикається до сторони \(BC\) у точцi \(A_1\). Точки \(B_1\) на сторонi \(CA\) i \(C_1\) на сторонi \(AB\) визначаються аналогiчним чином з використанням зовнiвписаних кiл, що лежать навпроти вершин \(B\) i \(C,\) вiдповiдно. Вiдомо, що центр описаного кола трикутника \(A_1B_1C_1\) лежить на колi, описаному навколо трикутника \(ABC\). Доведiть, що трикутник \(ABC\) прямокутний. \(\newline\it{Зовнiвписаним\ колом\ трикутника}\) \(ABC\), \( \it{що\ лежить\ навпроти\ вершини}\) \(A,\) \(\it{називається\ коло}\), \(\it{яке\ дотикається\ до\ вiдрiзка}\) \(BC,\) \(\it{продовження\ сторони}\) \(AB\) \(\it{за\ точку}\) \(B\) \(\it{i\ продовження\ сторони}\) \(AC\) \(\it{за\ точку}\) \(C\). \(\it{Зовнiвписанi\ кола}\), \(\it{що\ лежать}\) \(\it{навпроти\ вершин}\) \(B\ i\ C,\) \(\it{визначаються}\) \(\it{аналогiчним\ чином.}\)