Позначимо через \( \mathbb{Q}_{\gt0}\) множину всiх додатнiх рацiональних чисел. Нехай \(f\): \( \mathbb{Q}_{\gt0} \rightarrow \R \) – функцiя, що задовольняє такi умови: \( \newline \)(i) для всiх \(x, y \in \mathbb{Q}_{\gt0}\) виконується нерiвнiсть \( f(x)f(y) \ge f(xy)\); \( \newline \)(ii) для всiх \(x, y \in \mathbb{Q}_{\gt0}\) виконується нерiвнiсть \(f(x + y)\ge f(x) + f(y)\); \( \newline \)(iii) iснує рацiональне число \(a \gt 1\) таке, що \(f(a) = a\). \( \newline \)Доведiть, що \(f(x) = x\) для всiх \(x \in \mathbb{Q}_{\gt0}\).
| Attributes | Олімпіадна |
|---|---|
| Source | International Mathematical Olympiad |
| Year | 2013 |
| Number | 5 |
| Difficulty | 10.0 |
| Themes |