Problem

[54]

Нехай \(n \ge 3\) – цiле число. Розглянемо коло i \(n + 1\) точку на ньому, що дiлять його на рiвнi дуги. Розглянемо всi способи позначити цi точки числами \(0, 1, \ldots, n\) так, що кожне число використовується рiвно один раз. Два способи, що вiдрiзняються поворотом, вважаються однаковими. \( \newline \)Спосiб позначення назвемо \(\it{чудовим}\), якщо для довiльних чотирьох мiток \(a \lt b \lt c \lt d\) таких, що \(a + d = b + c\), хорда, що з’єднує вершини з мiтками \(a\) i \(d\), не перетинає хорду, що з’єднує точки з мiтками \(b\) i \(c\). Нехай \(M\) – кiлькiсть чудових способiв позначення. Нехай \(N\) – кiлькiсть упорядкованих пар \((x, y)\) натуральних чисел, що задовольняють умови \(x + y \lt n\) i \(НСД(x, y) = 1\). \( \newline \)Доведiть, що $$ M = N + 1.$$

Solution

Attributes	Олімпіадна
Source	International Mathematical Olympiad
Year	2013
Number	6
Difficulty	10.0
Themes