\(\qquad\)Нехай \(P\) – точка всерединi трикутника \(ABC\). Прямi \(AP, BP\) i \(CP\) вдруге перетинають коло \(\Gamma\), що описане навколо трикутника \(ABC\), в точках \(K, L\) i \(M\) вiдповiдно. Дотична до \(\Gamma\), що проведена через точку \(C\), перетинає пряму \(AB\) в точцi \(S\). Вiдомо, що \(SC = SP\). \(\\\qquad\)Доведiть, що \(MK = ML\).
Позначимо через \(\mathbb{N}\) множину натуральних чисел. Знайти всi функцiї \(g\): \(\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) такi, що число $$\;\left(g(m)\;+\;n\right)\left(m\;+\;g(n)\right)$$ є квадратом натурального числа для довiльних \(m, n \in \mathbb{N}\).
Точка \(I\) – центр кола, вписаного в трикутник \(ABC\), а \(\Gamma\) – коло, що описане навколо цього трикутника. Пряма \(AI\) перетинає коло \(\Gamma\) в точках \(A\) i \(D\). Точка \(E\) вибрана на дузi \(BDC\), а точка \(F\) – на сторонi \(BC\) так, що $$ \angle BAF = \angle CAE \lt \frac{1}{2} \angle BAC. $$ Точка \(G\) – середина вiдрiзка \(IF\). \(\\\)Довести, що прямi \(DG\) i \(EI\) перетинаються в точцi, що належить колу \(\Gamma\).
Знайти всi функцiї \(f\): \(\R \rightarrow \R\) такi, що $$ f(\lbrack x\rbrack y)\;=\;f(x)\left[f(y)\right]$$ для всiх \(x\), \(y \in \R\). (Через \([z]\) позначається найбiльше цiле число, що не перевищує \(z\).)
\(\qquad\)Нехай \(ABC\) — гострокутний трикутник, а \(\Gamma\) — описане навколо нього коло. Нехай пряма \(\ell\) — деяка дотична до кола \(\Gamma,\) i нехай \(\ell_a, \ell_b\) i \(\ell_c\) — прямi, симетричнi прямiй \(\ell\) вiдносно прямих \(BC, CA\) i \(AB\) вiдповiдно. \(\\\qquad\)Доведiть, що коло, описане навколо трикутника, утвореного прямими \(\ell_a, \ell_b\) i \(\ell_c,\) дотикаєтсья до кола \(\Gamma\).
. \(\qquad\)Нехай \(f\) — функцiя, визначена на множинi цiлих чисел та набуває цiлих додатних значень. Вiдомо, що для довiльних цiлих \(m\) i \(n\) рiзниця \(f(m) − f(n)\) дiлиться на \(f(m − n)\). \(\\\qquad\)Доведiть, що для довiльних цiлих \(m\) i \(n\) таких, що \(f(m) \le f(n),\) число \(f(n)\) дiлиться на \(f(m)\).
\(\qquad\)Задане цiле число \(n \gt 0\). Є шальковi терези та \(n\) гирь з вагами \(2^0, 2^1, \ldots, 2^{n−1}\). Усi \(n\) гирь розмiщуються послiдовно одна за одною на шальки терезiв, тобто на кожному з \(n\) крокiв вибирається гиря, яка ще не поклаладена на терези, i розмiщується або на лiву, або на праву шальку терезiв; при цьому гирi розмiщуються так, щоб у жоден момент права шалька не була важчою за лiву. \(\\\qquad\)Знайдiть кiлькiсть способiв виконати таку послiдовнiсть крокiв.
\(\qquad\)Нехай \(f\): \(\R \rightarrow \R\) — функцiя, яка визначена на множинi дiйсних чисел та набуває дiйсних значень, задовольняє нерiвнiсть $$f(x + y) \le yf(x) + f(f(x))$$ для всiх дiйсних \(x\) i \(y\). Доведiть, що \(f(x) = 0\) для всiх \(x \le 0\).
\(\qquad\)Нехай \(S\) — така скiнченна множина точок на площинi, яка мiстить принаймнi двi точки. Вiдомо, що жоднi три точки множини \(S\) не лежать на однiй прямiй. Назвемо \(\it{млином}\) такий процес. Спочатку обирається пряма \(\ell,\) на якiй лежить рiвно одна точка \(P \in S\). Пряма \(\ell\) обертається за годинниковою стрiлкою навколо \(\it{центра}\) \(P\) аж доки вона вперше не пройде через iншу точку множини \(S\). У цей момент ця точка, позначимо її через \(Q\), стає новим центром, а пряма продовжує обертатись за годинниковою стрiлкою навколо точки \(Q\) аж доки вона знову не пройде через точку множини \(S\). Цей процес триває нескiнчено. \(\\\qquad\)Доведiть, що можна вибрати точку \(P\) множини \(S\) i деяку пряму \(\ell,\) яка проходить через \(P\), так, що для млина, який починатиметься з прямої \(\ell,\) кожна точка множини \(S\) буде центром безлiч разiв.
\(\qquad\)Для множини \(A = {a_1, a_2, a_3, a_4},\) що складається з чотирьох попарно рiзних натуральних чисел, позначимо через \(s_A\) суму \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4\). Через \(n_A\) позначимо кiлькiсть пар iндексiв \((i, j),\) \(1~\le~i~\lt~j~\le~4,\) для яких \(s_A\) дiлитьcя на \(a_i + a_j\). \(\\\qquad\)Знайдiть усi множини \(A\), що складаються з чотирьох попарно рiзних цiлих додатних чисел, для яких \(n_A\) набуває найбiльшого можливого значення.