Нехай зовнiвписане коло трикутника \(ABC,\) що лежить навпроти вершини \(A,\) дотикається до сторони \(BC\) у точцi \(A_1\). Точки \(B_1\) на сторонi \(CA\) i \(C_1\) на сторонi \(AB\) визначаються аналогiчним чином з використанням зовнiвписаних кiл, що лежать навпроти вершин \(B\) i \(C,\) вiдповiдно. Вiдомо, що центр описаного кола трикутника \(A_1B_1C_1\) лежить на колi, описаному навколо трикутника \(ABC\). Доведiть, що трикутник \(ABC\) прямокутний. \(\newline\it{Зовнiвписаним\ колом\ трикутника}\) \(ABC\), \( \it{що\ лежить\ навпроти\ вершини}\) \(A,\) \(\it{називається\ коло}\), \(\it{яке\ дотикається\ до\ вiдрiзка}\) \(BC,\) \(\it{продовження\ сторони}\) \(AB\) \(\it{за\ точку}\) \(B\) \(\it{i\ продовження\ сторони}\) \(AC\) \(\it{за\ точку}\) \(C\). \(\it{Зовнiвписанi\ кола}\), \(\it{що\ лежать}\) \(\it{навпроти\ вершин}\) \(B\ i\ C,\) \(\it{визначаються}\) \(\it{аналогiчним\ чином.}\)
| Attributes | Олімпіадна |
|---|---|
| Source | International Mathematical Olympiad |
| Year | 2013 |
| Number | 3 |
| Difficulty | 10.0 |
| Themes |