\(N\) деталей дитячої збірної залізниці є четвертинками кола даного радіуса. З цих деталей треба скласти залізну колію так, щоб при з'єднанні вони переходили одна на одну плавно. Довести, що не можна побудувати залізничну колію так, щоб кут між її кінцями дорівнював \(0^{\circ}\).

Маємо набір з \(70\) гирок, маси яких невідомі, і терези без стрілок. Дозволяється покласти на кожну шальку терезів по \(19\) гирок. Якщо ліва шалька переважить, то можна зробити те саме знову, але вже з іншими наборами \(19\) гирок. За скільки зважувань можна досягти того, щоб ліва шалька напевно хоча б один раз не переважила?

Яке максимальне число білих шашок можна розставити на шаховій дошці \(8\times8\) так, щоб чорна шашка могла збити їх за один хід, не попадаючи при цьому в "дамки"? Шашки стоять на чорних полях.

З точки \(P\), яка лежить поза колом з центром \(O\), проведено до нього дві дотичні \(PA\) і \(PB\) (\(A\) і \(B -\) точки дотику). З точки \(B\) проведено діаметр \(BD\), а з точки \(A\) опущено перпендикуляр \(AC\) на [\(BD\)]. Довести, що (\(PD\)) ділить відрізок \(AC\) пополам.

У числі \(2^{1970}\) закреслили першу цифру і додали її до числа, що залишилося. Такі самі операції застосовуються до послідовних результатів доти, поки дістають десятицифрове число. Довести, що в цьому числі є дві однакові цифри.

Маємо паперову стрічку з написаним на ній \(1970\)-цифровим числом, у запису якого немає жодного нуля. Довести, що є приймні два різних способи, за якими можна розрізати цю стрічку на частини не менш ніж з двома цифрами на кожній так, що сума всіх чисел на них буде в обох випадках однаковою.

Опуклий чотирикутник розбито діагоналям на чотири трикутники, площі яких виражаються цілими числами. Довести, що добуток цих чотирьох чисел не може закінчуватись цифрами... \(1970\).

У довільний трикутник вписано квадрат так, що його сторона лежить на стороні трикутника. Довести, що \(\frac a2<R<\frac a{\sqrt2}\) , де \(a -\) сторона квадрата, а \(R - \)радіус вписаного в трикутник кола.

Знайти всі пари простих чисел \(p\) і \(q\), які задовольняють рівність \(\\\)$ p^2-2q^2=1. $

У наборі є \(100\) гирок, кожні дві з яких відрізняються за масою не більше ніж на \(20\) грамів. Довести, що ці гирки можна розкласти на дві чашки терезів по \(50\) штук на кожну так, щоб одна чашка була легша за другу не більш ніж на \(20\) грамів.