Кожен із \(50\) учнів написав одне святкове поздоровлення і надіслав його тому учневі, який живе найближче до нього (одному з них, якщо кілька учнів живуть на однаковій відстані від нього). Яка найменша кількість учнів одержить святкові поздоровлення?
На троьх мимобіжних ребрах куба вибрати три точки так, щоб сума квадратів сторін трикутника з вершинами у цих точках була найменшою.
Учень записа на дошці алгебраїчне рівняння, всі корені якого \(-\) додатні числа. Однак через свою неувжніть він пропустив частину його членів. Тому було написано лише так: \(\\\) $ x^{1969}-1969x^{1968}\underset{пропущено}{\underbrace{\;\;+\;\;\;\;\dots\;\;\;\;\;\;-\;\;}1=0} $\(\\\) Допоможіть учневі за цих умов знайти корені рівняння. Спробуйте також поновити повний запис рівняння.
Жилий відсік підводного човна займає \(108\) кают на трьох поверхах. Кожних поверх у плані зображено квадратом, який розбито ще на \(36\) рівних квадратів (каюти). Із кожної каюти є двері в усі сусідні з нею на цьому поверсі і люки у верхню та нижню каюти. Чи зможе капітан човна пройти з каюти третього поверху в каюту, що протилежному куті першого поверху, побувавши при цьому лише один раз у кожній каюті?
Добутки косинусів протилежних кутів чотирикутника рівні. Довести, що чотирикутник є трапеція.
Сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює \(2\), а сума коефіцієнтів при непарних степенях \(x\) дорівнює сумі коефіцієнтів при парних степенях \(x\). Знайти остачу від ділення цього многочлена на \(x^2-1\).
При якому натуральному \(k\) величина \(\frac{19^k+69^k}{k!}\) є найбільшою? Примітка: Символ \(k!\) читається \(\it{ка-факторіал}\) і означає добуток усіх натуральних чисел від одиниці до \(k\) включно.
Дано кут і всередині його коло. Знайти на колі точку, сума відстаней від якої до сторін кута була б найменшою.
З чисел, утворених перестновкою перших \(12\) цифр \(120\)-цифрового числа, взято будь-які \(120\) чисел. Довести, що їх сума ділиться на \(120\).