Сред усіх квадратних тричленів \(y=x^2+px+q\), які набувають тільки невід'ємних значень, знайти той, в якого сума \(p+q\) найменша.

Є дві купки горіхів: в одній \(24\), а в другій \(19\) штук. Дівчинка і хлопчик винадали таку гру: кожен з них робить по черзі один "хід", внаслідок якого одну з купок треба з'їсти, а другу поділити на дві будь-які частини; той, хто не зможе поділити купку тому, що там залишився всього один горіх, програє. Як повинна грати дівчинка, яка робить перший хід, щоб виграти?

Коло, радіус якого дорівнює висоті деякого рівнобедреного трикутника, котиться по основі цього трикутника. Довести, що величина дуги, яка відтинається на колі бічними сторонами трикутника, залишається при цьому сталою.

Розв'язати рівняння \(\\\)$ x^4-2\sqrt7x^2+x+7-\sqrt7=0. $

Навколо сфери, діаметр якої дорівнює \(10\), описано довільний дев'ятнадцятигранник. Довести, що його диаметр на перевищує \(21\). \(\\\)Примітка: Діаметр многогранника \(-\) це нійбільша відстань між двома його точками.

З дроту зроблено куб, ребро якого дорівнює \(1\) м. По його ребрах повзають два павуки і одна муха. Їх максимальні швидкості збігаються. В початковий момент обидва павуки знаходяться в одній вершині кубу, муха \(-\) в протилежній. Чи зможуть павуки спіймати муху?

У клітинках таблиці \(100\times100\) навмання розставлено \(102\) мінуси, а решту місць зайнято плюсами. Дозволяється змінювати знак на протилежний в усіх клітинках будь-якого рядка чи стовпця. Довести что в результаті будь-якого числа таких операцій не можна дістати таблицю тільки з плюсами.

Кола \(\gamma_1\) і \(\gamma_2\) однакових радіусів мають внутрішній дотик з колом \(\gamma\) в точках \(A\) і \(B\). Нехай \(C -\) довільна точка кола \(\gamma\), а \(A_1\) і \(B_1 - \) точки перетину прямих \(AC\) і \(BC\) відповідно з колами \(\gamma_1\) і \(\gamma_2\). Довести, що \((AB)\)паралельна \((A_1B_1)\).

Довести, що для будь-якого \(\alpha\) і \(\beta\neq k\frac\pi2(k\in Z)\), справджується нерівніть \(\\\)$\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\beta}+\frac{\sin^4\alpha}{cos^2\beta}\geq1. $\(\\\)При яких виконується рівність?

Для якого \(n\)-цифрового числа відношення цього числа до суми його цифр буде найбільшим?