Дано \(n\) додатних чисел \(x_1, x_2, \dots\, x_n\), які задовольняють умову: \(x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot\dotsc\cdot x_n=a\). \(\\\)Довести, що \((1+x_1)(1+x_2)\;\dots\;1+x_n)\geqslant{(1+\sqrt[n]a)}^n\).
На площі тежать шість конгруентних конусів, які послідовно лежать один до одного і мають спільну вершину. На конусах лежить куля, яка дотикається до її поверхонь у точках, що лежать на колах основ. Знайти відношення об'єму кулі до суми об'ємів конусів.
Розв'язати рівняння \(\\\)$ 2^{\lbrack x\rbrack}=1+2x, $\(\\\)де \([x] - \)ціла частина числа \([x]\).
Нехай \(d(x,~y) - \) найбільший спільний дільник натуральний чисел \(x\) і \(y\). \(\\\)Довести, що \(d(x+y, xy)- d(x,y)\) є парне число.
Побудувати трикутник за кутом \(A\), який лежить проти основи \(a\), і відрізком \(d\) що сполучає вершину основи з точкою, яка лежить на бічній стороні і поділяє її у відношені \(1~:~3\).
Розв'язати рівняння \(\\\)$ \lbrack x\rbrack+\sqrt{x-\lbrack x\rbrack}=a, $ \(\\\)де \(a - \)дійсне число, а \([x] - \)ціла частина числа \(x\).
Дано пряму \(l\) і точку \(O\), яка лежить на цій прямій. Знайти множину точок \(M\) таких, що площа прямокутного трикутника \(MOA\) з гіпотенузою \(AM\), де \(A - \)довільна точка прямої \(l\), є стала величина, яка дорівнює \(S\).
Знайти всі чотиризначні числа \(\overline{abcd}\), коли відомо, що це число і число \(\overline{dcba}\) є повні квадрати цілих чисел і їх відношення є квадрат цілого числа.
Нехай \(ABC -\) гострокутний трикутник, \(D -\) точка перетину його висот. Довести, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників \(ADC\), \(ABD\), \(DBC\), рівні між собою.