Висота посудини, яка має форму циліндра, дорівнює діаметру основи. У посудину вміщено прямий круговий конус, радіус і висота якого такі самі, як у циліндра, і \(n\) куль однакового радіуса. Кожна куля дотикається до поверхні посудини, поверхні конуса і двох інших куль. Чи видно кулі з посудини?
Якщо \(p_1, p_2, q_1, q_2 \; - \) дійсні числа, які задовольняють рівність $$ p_1p_2=2(q_1+q_2), $$ то принаймні одне з рівнянь $$ \; x^2+p_1x+q_1=0,\\x^2+p_2x+q_2=0 $$ має дійсні корені.
Довести нерівність $$ 3\sin^2x\geq2\;\sin2x\;-\;1 $$ і знайти всі \(x\), при яких справджується рівність.
Нехай \(p\; - \) просте число. Довести, що \(p\) різних цілих чисел, у записі яких у системі числення з основою \(p\) немає цифри \(p - 1\), не можуть утворювати арифметичну прогресію.
Проекції многокутника на вісь \(Ox\), бісектрису першого і третього координатних кутів, вісь \(Oy\) та бісектрису другого і четвертого координатних кутів дорівнюють відповідно \(4, 3, \sqrt2, 5\) і \(4\sqrt2\). Довести, що площа многокутника не більша за \(17,5\).
Дано двограний кут і пряму, яка перетинає його ребро. Через дану пряму провести площину так, щоб ця пряма була бісектрисою кута, утвореного в перерізі. Дослідити кількість розв'язків.
Розв'язати рівняння $$ \frac{\sqrt{{\displaystyle\frac{1+x^2}{2x}}+1} - \sqrt{\frac{1+x^2}{2x}-1}} {\sqrt{\frac{1+x^2}{2x}+1}+\sqrt{\frac{1+x^2}{2x}-1}}= $$ $$ \\=\log_2(\left|x-2\right|+\left|x+2\right|)-\frac{11}{9}. $$
Нехай \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \; -\) деякі натуральні числа. Число \(\) дорівнює кількості тих чисел \(a_i \; (i = 1, 2, 3, \ldots, n,\) які не менші за \(k \; (k = 1, 2, 3, \ldots, n)\). Довести, що: \(\\ \)a) існує такий номер \(m\), що \(b_m \ne 0,\;b_{m+1} = b_{m+2} = b_{m+3} = \dots = 0\) (чому дорівнює \(m\))?; \(\\ \)б) \(a_1+a_2+a_3+\dots+a_n = b_1+b_2+b_3+\dots+b_m\).
Чотири точки на площині визначають \(6\) відстаней. Довести, що відношення найбільшої з них до найменшої не менше за \(\sqrt2\).