Квадратний тричлен \(ax^2+bx+c\) при всіх цілих \(x\) набуває цілих значень тоді і тільки тоді, коли числа \(2a, a + b, c \; - \) цілі. Довести це.

Побудувати множину точок, координати \((x;\;y)\) яких задовольняють рівняння $$ 1-x^2-y^2=\sqrt{{(1-x^2-y^2)}^2+(y-x^2)^2}. $$

У середині трикутника \(ABC\) взято точку \(O\). На променях \(ABC\), \(ABC\) і \(ABC\) побудовано вектори, довжина кожного з яких дорівнює \(1\). Довести, що сума цих векторів має довжину, менш за \(1\).

Якщо перші \(m\) цифр квадрата деякого \(m\)-цифрового числа збігаються з цифрами самого числа, то це число є степенем \(10\). Довести це.

Довести, що при будь-якому цілому \(n\) число \(n(n-3)(n^2-3n+14)\) ділиться на \(24\).

Розв'язати рівняння $$ \frac{x-6\left|x\right|+14}{\left|x-2\right|+\left|x+2\right|}=\frac32. $$

Знайти найбільше \(n\), при якому можна розмістити \(n\) точок на площині так, щоб кожні три з них були вершинами прямокутного трикутника.

Фабрика випустила товар у пачках масою \(3\) кг і \(5\) кг. Довести, що з цих пачок можна скласти пачку будь-якої маси, більшої за \(7\) кг.

У просторі дано нескінченну кількість точок так, що всередині будь-якої кулі міститься тільки скінченне число цих точок. Довести, що для кожного натурального числа \(n\) існує куля, всередині якої міститься рівно \(n\) даних точок.

Розв'язати рівняння $$ arctg\left[x^2-2x+5^{x-2}+arc\cos\frac{2y}{\mathrm\pi}+tg^2(y+z)\right]+\\+\sqrt{-\left|2x^2-3x-2\right|}=\sqrt{2x-x^2}+\frac{\mathrm\pi}4. $$