Одного разу з кожного з аеродромів, усі можливі відстані між якими різні, піднявся літак і полетів на найближчий аеродром. Довести, що на кожний аеродром прилетіло не більш як \(5\) літаків.
Нехай \(ABCD\; -\) паралелограм, а \(E\) і \(F\; -\) проекції вершини \(C\) на сторони \(AB\) і \(AD\). Довести, що $$ \left|AB\right|\cdot\left|AE\right|+\left|AD\right|\cdot\left|AF\right|=\left|AC\right|^2. $$
Відомо, що квадратні тричлени $$ \; a_1x^2+2b_1x+c_1,\\a_2x^2+2b_2x+c_2 $$ при всіх \(x\) набувають додатних значень. Довести, що цю властивість має і квадратний тричлен $$ a_1a_2x^2+2b_1b_2x+c_1c_2. $$
Довести, що \(2^{3^n}+1\) при будь-якому натуральному \(n\) ділиться на \(3^{n+1}\).
З будь-якої точки кола, описаного навколо деякого прямокутника, проведено перпендикуляри до діагоналей прямокутника. Довести, що відстань між основами цих перпендикулярів не залежить від положення точки на колі.
Дано пряму лінію і дві точки \(A\) і \(B\), які лежать по різні боки від неї. Провести через точки \(A\) і \(B\) коло, яке б відтинало від даної прямої хорду найменшої довжини.
Серед усіх трикутників із сторонами \(a\) і \(b\) знайти той, в якого найбільший кут має найменшу величину.
Довести, що число учасників \(V\) республіканської олімпіади юних математиків, які знайомі з непарним числом учасників, парне.
Нехай \(p(x) \; \) многочлен з цілими коефіцієнтами. Якщо \(p(a) = p(b) = p(c) = -1,\) де \(a, b, c, \; -\) різні цілі числа, то \(p(x)\) не має цілих коренів. Довести це.
На колі взято \(n\) точок і проведено всі можливі хорди, що сполучають ці точки. Відомо, що жодні три з проведених хорд не перетинають ці точки. Відомо, що жодні три з проведених хорд не перетинаються в одній точці. На скільки частин розбивається круг?