Довести, що при натуральних \(n\ge 2\) і \(m \ge 1\) виконується нерівність \(\\\)$ \frac1{{(n+1)}^3}+\frac1{{(n+2)}^3}+\dots+\frac1{{(n+m)}^3}<\frac1{2n(n-1)}. $

Нехай \(a, b , c\) - такі комплексні числа, що $ \left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|=r $\(\\\) Довести, що $\left|\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\right|=r.$

Знайти кількість коренів і обчислити два найменьші корені рівняння \(\\\)$ \frac{x^2}{{(2n+1)}^2}=1-\underbrace{\left|1-\left|1-\dots-\left|1-\left|x\right|\right|\right|\dots\right|}_{2n+1\;одиниць} $

У квадраті, сторона якого дорівнює \(1\), взяли \(51\) точку. \(\\\)Довести, що деякі три з цих точок обов'язково містяться всередині круга радіуса \(\frac17\).

Усі цілі числа від \(1\) до \(2n\) включно розміщено в довільному порядку. До кожного числа додали номер місця, на якому воно стоїть. \(\\\)Довести, що серед утворених сум принаймні два числа при ділені на \(2n\) даватимуть однакову остачу.

Довести, що в кожній трикутній пираміді існує така вершина, що з ребер, які виходять з неї, можна побудувати трикутник.

Знайти кількість коренів і обчислити два найбільші корені рівняння \(\\\)$ \frac{x^2}{4n^2}=1-\underbrace{\left|1-\left|1-\dots-1\left|1-\left|x\right|\right|\dots\right|\right|}_{2n\;одиниць} $

Побудувати множину точок, координати \((x;\; y)\) яких задовольняють рівняння \(\\\)$ \left[arctg\frac{x(x-\pi)(x-2\pi)}{23!}\right](\sin y-\sin x+\left|x+4\pi\right|+\left|x+\pi\right|-3\pi)\sqrt{\pi y-y^2}=0 $

Усі цілі числа довільно розбито на дві групи. \(\\\)Довести, що хоч в одній групі знайдуться три числа, які утворюють арифметичну прогресію.

На площині розміщено \(n\) точок так, що будь-який трикутник з вершинами в цих точках має площу, не більшу за \(1\). \(\\\)Довести, що всі ці точки можна вмістити в трикутник, лоща якого не перевищує \(4\).