Довести, що площа квадрата, який лежить усередині трикутника, не більша за половину площі цього трикутника.
У квадрат, сторона якого \(a+2\), вміщено \(n\) квадратів із стороною \(1\), причому \(a>\sqrt{(\pi+5)n}\). \(\\\)Довести, що в цей квадрат ще можна вмістити круг одиничного радіуса, який не перетинається з жодним квадратом.
Довести, що в числі \(\left(8+\sqrt{65}\right)^n\) перші \(n\) десяткових знаків після коми дорівнюють нулю (\(n \;-\) непарне число).
Побудувати множину точок, координати \((x,\; y)\) яких задовольняють рівняння \(\\\)$ \left[1-x^2-y^2-\sqrt{{(1-x^2-y^2)}^2+{(y-x^2)}^2{(y+\left|x\right|)}^2}\right]^2+\\+\left[x^2+y^2-\frac14-\sqrt{\left(x^2+y^2-\frac14\right)^2+{(y-x^2)}^2{(y+\left|x\right|)}^2}\right]^2=0. $
На шкілному балу жодний хлопець не танцював з усіма дівчатами, а кожна дівчина танцювала тільки з одним хлопцем. Довести, що серед учасників балу знайдуться такі дві танцювальні пари \(Д_1Х_1\) і \(Д_2Х_2\), де \(Х_1\) не тацював з \(Д_2\), а \(Х_2\) - з \(Д_1\).
У довільному трикутнику \(ABC\) побудувати на сторонах \(AB\) і \(BC\) відповідно точки \(M\) і \(N\) так, щоб \(\left|AM\right|=\left|MN\right|=\left|NC\right|\).
Нехай \(p\) і \(q\) - прості числа, причому \(q^3-1\) ділится на \(p\), а \(p-1\) ділится на \(q\). \(\\\)Довести, що \(p=1+q+q^2\).
На площині дано \(5000\) точок, причому жодні три з них не лежать на одній прямій. Довести, що можна побудувати \(1000\) п'ятикутників, які не перетинаються один з одним і вершини яких містяться на цих точках.
У трьох урнах лежить по дві кулі. В одній - дві білих (\(\it ББ\thinspace\)), в другій - дві чорних (\(\it ЧЧ\thinspace\)), у третій - одна біла і одна чорна (\(\it БЧ\thinspace\)). На урнах є таблички \(\it ББ\), \(\it ЧЧ\) і \(\it БЧ\). Усі ці таблички повішено неправильно. Дозволяється виймати кулю з кожної урни з поверненням. Скільки разів треба виймати кулі, щоб правильно визначити вміст усіх урн?
Дано рівність \( \frac1{a+b+c}=\frac1a+\frac1b+\frac1c\). \(\\\)Довести, що або \(a+b=0\), або \(b+c=0\), або \(a+c=0\).