Довести, що круги, які побудовані на сторонах довільного чотирикутника як на диаметрах, повністю його покривають.

Яке з чисел більше: $ \frac{23^{1965}+1}{23^{1966}+1}\;чи\;\frac{23^{1966}+1}{23^{1967}+1}? $

Побудувати множину точок, координати \((x;\;y)\) яких задовольняють рівняння $ (\left|x+1\right|-\left|y\right|)(\left|x-2\right|-\left|y\right|)(x^2-9x+20)\sqrt{1-\left|y\right|}=0 $

На дошці написано числа \(1, 2, 3, \ldots, 1966\). Дозволяється витерти будь-які два числа, а замість них написати їх різницю. Внаслідок многократного повторення цієї операції на дошці залишилося одне число. Довести, що це число не може бути нулем.

Дано кут \(19^\circ\). Побудувати кут \(1^\circ\).

довести, що для будь-якого трицифрового числа завжди виконується щонайменше одне з трьох тверджень: \(\\\)1) це число ділиться на 3; \(\\\)2) яка-небудь цифра числа ділиться на 3; \(\\\)3) яке-небудь двоцифрове число, складене з цифр даного числа, ділиться на \(3\).

Знайти множину точок, з яких дві протилежні сторони даного квадрата видно під однаковим кутом.

Знайти суму квадратів коренів рівняння $$ {(x^2+2x)}^2-5(x^2+2x)+3=0. $$

Знайти всі прості числа виду \(n^n + 1\), які менші за \(10^{19}\) (\(n \; -\) натуральне число).

Які умови повинні задовольняти коефіцієнти рівняння $$ x^3+ax^2-bx-c=0 $$ для того, щоб воно мало єдиний дійсний корінь, який дорівнює \(-1\). Зобразити в площині \(aOb\) множину точок, координати \(a\) і \(b\) яких задовольняють знайдені умови.