На дошці було написано \(5\) чисел. Додаючи їх попарно, дістали такі \(10\) чисел: \( 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13,15\). Які числа були записані на дошці?
На площині розміщено \(1968\) точок так, що серед кожних трьох з них існують дві точки, відстань між якими не перевищує одиниці. Довести, що знайдеься коло радіуса \(1\), усередині якого міститься принаймні \(984\) точки.
На площині проведено дві пари взаємно перпендикулярних прямих так, що утворилося чотири прямокутні трикутники. Довести, що середини гіпотенуз цих трикутників є вершинами прямокутника.
Дано кут і точку, яка міститься поза ним. Провести через цю точку пряму так, щоб вона відтинала від кута трикутник заданого периметра.
Побудувати множину точок, координати \((x,\; y)\) яких задовольняють умову \(\\\)$ x^2+y^2=2\left|y\right|. $
На ділянці лісу, яка має опуклу форму і площу \(S\), заблудився чоловік. Довести, що він зможе вийти з лісу, якщо пройде щлях, не більший за \(\sqrt{2\pi S}\). Інакше кажучи, довести, що існує лінія довжини \(\sqrt{2\pi S}\), яку не можна помістити цілком у жодну опуклу фігуру з площею \(S\).
Довести, що функція \(y=\cos x+\cos\lambda x\) не є периодичною, коли \(\lambda\;-\) ірраціональне число.
Дано площину \(P\) і точки \(A\) та \(B\), що лежать по один бік від цієї площини. Через \(A\) і \(B\) проведено всі можливі кола, які дотикаються до площини \(P\). Знайти множину точок дотику.
Довести, що \(\\\) $ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n\;раз}=2\cos\frac\pi{2^{n+1}}. $