Мисливець i невидимий кролик грають у таку гру на площинi. Початкова точка \(A_0\) кролика i початкова точка \(B_0\) мисливця спiвпадають. Нехай пiсля \(n – 1\) раунду гри кролик знаходиться у точцi \(A_{n−1}\), а мисливець – у точцi \(B_{n−1}\). Тодi в \(n\)-му раундi гри послiдовно виконуються такi три дiї: \( \newline \)(1) Кролик, залишаючись невидимим, перемiщується в точку \(A_n\) таку, що вiдстань мiж точками \(A_{n-1}\) i \(A_n\) дорiвнює \(1\). \( \newline \)(2) Слiдкуючий пристрiй повiдомляє мисливцю деяку точку \(P_n\). При цьому, слiдкуючий пристрiй гарантує лише те, що вiдстань мiж точками \(P_n\) i \(A_n\) не бiльша за \(1\). \( \newline \)(3) Мисливець, залишаючись видимим, перемiщується в точку \(B_n\) таку, що вiдстаннi мiж точками \(B_{n−1}\) i \(B_n\) дорiвнює \(1\). \( \newline \) Чи завжди можливо мисливцю, при довiльних перемiщеннях кролика i довiльних повiдомлених слiдкуючим пристроєм точках, вибрати свої перемiщення таким чином, щоб пiсля \(10^9\) раундiв вiн мiг гарантувати, що вiдстань мiж ним i кроликом не бiльша за \(100\)?
| Attributes | Олімпіадна |
|---|---|
| Source | International Mathematical Olympiad |
| Year | 2017 |
| Number | 3 |
| Difficulty | 10.0 |
| Themes |