Доведіть, що існує додатна константа $c$, для якої справджується таке твердження: Нехай $S$ – множина з $n > 1$ точок площини, у якій відстані між довільними двома точками не менше за $1$. Тоді існує пряма $ℓ$, що розділяє множину $S$, така що відстань від довільної точки $S$ до $ℓ$ не менше ніж $cn^{−1/3}$. (Пряма $ℓ$ розділяє множину точок $S$, якщо вона перетинає деякий відрізок, кінці якого належать $S$.) Зауваження. Більш слабкі результати з заміною $cn^{−1/3}$ на $cn−α$ можуть оцінюватися в залежності від значень константи $α > 1/3$.
| Source | International Mathematical Olympiad |
|---|---|
| Year | 2020 |
| Number | 6 |
| Difficulty | 10.0 |
| Themes |