Відстань від \(A\) до \(B\) - \(999\) км. Уздовж дороги стоять кілометрові стовпи, на яких відстані до \(A\) і до \(B\) написано так: $$ \boxed{0\,|\,999}, \boxed{1\,|\,998}, \boxed{2\,|\,997}, \ldots, \boxed{999\,|\,0}. $$ Скільки серед цих стовнів таких, на яких є тільки дві різні цифри?

Скільки коренів має рівняння $$ \left|\mathrm{cosπ}x\right|=\frac{x^2}{4n^2} $$ де \(n\) - ціле число?

Центри \(n\) куль радіуса \(r\), які мають спыльну дотичну площину \(P\), утворюють правильний многокутник із стороною \(2r\). Обчислити радіус кулі, яка дотикається до цих куль і до площини \(P\).

Довести, що в опуклому многокутнику, всі кути якого конгруентні, сума відстаней від будь-якої точки, що лежить всередині многокутника, до його сторін є величина стала.

У даний правильний трикутник вписати правильний трикутник з найменшою площею.

Розв'язати рівняння $$ \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}=1. $$

Нехай сторони чотирикутника відповідно дорівнюють \(a, b, c, d,\) а його площа дорівнює \(S\). Довести, що \(S \le \frac{1}{4} (a + c)(b + d)\).

Дано два рівняння \(ax^2 + x + 1 = 0\) і \(x^2 + ax + 1 = 0\). Знайти всі \(a\), при яких ці рівняння мають принаймні один спільний корінь.

Дано трикутник \(ABC\). Знайти точку, симетричний образ якої відносно будь-якої сторони трикутника лежить на колі, описаному навколо цього трикутника.

У середині прямокутника, площа якого \(4\, м^2\), розміщено \(7\) прямокутників, причому площакожного з них дорівнює \(1\, м^2\). \(\\\)Довести, що принаймі два прямокутники мають спільну частину площа якої не менша ніж \(\frac{1}{7}\, м^2\).