На площині дано шість точок, з яких жодні три не лежать на одній прямій. Довести, що серед них є три точки, які утворюють трикутник з кутом, не меншим за \(120^\circ\).

Коло, вписане в трикутник \(ABC\), дотикається до його сторін у точках \(K, L, M\). Нехай точки \(O_1, O_2, O_3\) є центрами кіл, зовні вписаних у цей самий трикутник. \(\\\)Довести, що трикутники \(KLM\) і \(O_1O_2O_3\) подібні.\(\\ \it{Примітка}\). Зовні вписаним називається коло, яке дотикається дод сторони трикутника і до продовження вдох інших його сторін.

Рівняння \(x^2 + ax + b = 0\) і \(x^2 + px + q = 0\) мають спільний корінь. Скласти квадратне рівняння, коренями якого є інші корені цих рівнянь.

Побудувати трикутник за двома даними точками, що є основами висот, опущених на бічні сторони цього трикутника, і прямою, на якій розміщена його основа.

Довести, що при кожному цілому \(n\) вираз \(\frac{n^5}{120}-\frac{n^3}{24}+\frac n{30}\) також є цілим числом.

Обчислити кути рівнобедреного трикутника, в якому центри вписаного й описаного кіл взаємно симетричні відносно основи трикутника.

У площині розміщено \(n\) зубчастих колес так, що перше зачеплене з другим, друге - з третім і т.д., а останнє - з першим. \(\\\)В яких випадках можуть рухатися колеса такої системи?

У прямокутному трикутнику \(ABC\) на катеті \(AC\) як на діаметрі побудовано коло, що перетинає гіпотенузу \(AB\) в точці \(E\). Через точку \(E\) проведено дотичну до кола, яка перетинає катет \(CB\) в точці \(D\). \(\\\)Довести, що трикутник \(BDE\) рівнобедрений.

На площині дано \(100\) кіл які попарно перетинаються по двом точкам і ніякі три не перетинаються в одній точці. Знайти число частин, на які вони ділять цю площину.

У кожного цілого числа від \(n+1\) до \(2n\) включно візьмемо найбільший непарний дільник і додамо їх всі. Яке число ми отримаємо?