Побудувати трикутник, якщо відомі одна з його вершин, середина протилежної сторони і точка перетину висот.

Розв'язати рівняння $$ \frac{x^2}3+\frac{48}{x^2}=10\left(\frac x3-\frac4x\right). $$

Навколо вершин квадрата описано кола, радіус кожного з яких дорівнює половині діагоналі квадрата. Довести, що точки перетину цих кіл із сторонами квадрата є вершинами правильного восьмикутника.

Було \(4\) аркуші паперу. Деякі з них розрізали на \(4\) частини; потім деякі з четвертинок знову розрізали на \(4\) частини і т.д. Коли підрахували загальне число ракушів, то виявилося, що їх всього \(1962\). Довести, що підрахунок був неправильний.

Нехай \(E\) - основа перпендикуляра, опущеного з центра ромба \(ABCD\) на сторону \(AB\), а \(F\) - середина перпендикуляра, опущеного з вершини \(C\) на сторону \(AB\). Довести, що відрізки \(DE\) і \(AF\) взаэмно перпендикулярні.

Побудувати трикутник, якщо відомі основа, кут при вершині і медіана, проведена на бічну сторону.

Довести, що не існує цілих чисел \(x\) і \(y\) таких, які б задовольняли рівняння $$ x^2 + 1962 = y^2. $$

Спростити вираз $$ a^3 + b^3 + 3(a^3 b + a b^3) + 6(a^3 b^2+a^2 b^3), $$ де \(a\) і \(b\) - корені рівняння \(x^2 - x + q = 0\).

Довести, що при будь-якому поділі на дві частини квадрата, сторона якого довівнює \(1\), принаймі одна частина матиме діаметр, не менший за \(\frac{\sqrt5}{2}\).\(\\ \it{Примітка}\). Діаметром будь-якої фігури називається відстань між найбільш віддаленими точками цієї фігури.

Усередині квадрата \(ABCD\), взято деяку точку \(Q\). Для кожної точки \(P\), узятої на стороні квадрата, побудовано правильний трикутник \(QPR\). Яку траєкторію опише точка \(R\), якщо точка \(P\) рухатиметься по сторонах квадрата \(ABCD\)?