Дано прямокутну таблицю дійсних чисел. Два числа \(a\) і \(b\) цієї таблиці мають таку властивість: кожне з них найбільше серед чисел свого рядка і найменше серед чисел свого стовпця. Довести, що \(a = b\).
В основі піраміди лежить ромб, менша діагональ якого дорівнює \(2a\). Висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей основи. Усі п'ять вершин піраміди лежать на циліндричній поверхні, вісь якої перпендикулярна до меншої діагоналі основи піраміди і проходить через її середину. Знайти всі ребра піраміди, якщо кут між віссю циліндричної поверхні і висотою піраміди дорівнює \(\alpha\).
Чи завжди існує такий кут \(x\), що $$ \sin x=\frac{\sin\beta\;\sin\gamma}{1-\cos\alpha\;\cos\beta\;\cos\gamma}, $$ де \(\beta\) і \(\gamma\) - гострі кути, а \(\alpha\) - довільний кут?
Один з гравців задумав послідовність з невід'ємних цілих чисел $$a_1, \; a_2,\; a_3,\; \ldots,\; a_n.$$ \(\\\)Другий повинен відгадати цю послідовність так: він називає свою послідовність з цілих чисел $$b_1,\; b_2, \;b_3,\; \ldots,\; b_n,$$ \(\\\)а перший говорить йому, чому дорівнює $$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \ldots + a_nb_n;$$ \(\\\)потім другий гравець називає якусь іншу послідовність цілих чисел $$c_1,\; c_2,\; c_3,\; \ldots,\; c_n,$$ \(\\\)а перший говорить йому, чому дорівнює $$a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3 + \ldots + a_nc_n \; і \; т.д.$$ \(\\\)Які послідовності повинен назвати другий гравець, щоб відгадати задуману послідовність, коли перший гравець повідомить другу суму добутків?
Скільки існує різних пар цілих чисел \(x\) і \(y\) від \(1\) до \(1000\), для яких є цілим числом? Пари \((x;\;y)\) і \((y;\;x)\) вважати однаковими.
Розв'язати систему рівнянь $$ \left\{\begin{array}{l}x_1(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)=1,\\x_2(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)=3,\\x_3(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)=5,\\\cdots\\x_n(x_1+x_2+x_3+\dots+x_n)=2n-1.\end{array}\right. $$
Знайти множину проекцій точки \(A\) на всі можливі прямі, що лежать у площині \(P\) і проходять через точку \(B\).
Довести тотожність $$ \sin\alpha\;\cos\alpha+\sin^3\alpha\;\cos\alpha+\sin^5\alpha\;sec\alpha=tg\alpha. $$
Відомо, що серед кодних чотирьох учасників туристського походу принаймі один знайомий з трьома іншими. Довести, що принаймі один учасник походу знайомий з усіма іншими.
Знайти всі натуральні числа \(x, y, z,\) для \(\frac1х+\frac1y+\frac1z\) яких є цілим числом.