Доведіть, що в трикутнику Паскаля: \(\\\qquad\)а) в рядку з номером \(2^n\) всі числа, крім одиниць, парні; \(\\\qquad\)б) в рядку з номером \(2^n-1\) всі числа непарні.

Знайдіть перші \(2021\) знаків після коми в розкладанні числа \(\left(\sqrt{26}+5\right)^{2021}\)

Скільки доданків вийде після розкриття дужок і приведення подібних доданків у виразі \((1+x^2)^{100}(1+x^5)^{100}\)?

Доведіть, що в рівності $$ (x_1+x_2+\dots+x_m)^n=\sum_{k_1+\dots+k_m=n}C(k_1,\;k_2,\;\dots,\;k_m)x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots\;x_m^{k_m} $$ коефіцієнти \(C(k_1, k_2, \ldots, k_m)\) можуть бути знайдені за формулою $$ C(k_1,\;k_2,\;\dots,\;k_m)=\frac{n!}{k_1!\;k_2!\;\dots\;k_m!} $$

Знайдіть коефіцієнт при \(x^2 y^4\) в розкладі \(\\\qquad\) 1) \((x + 2y)^6\) \(\\\qquad\) 2) \((x + y-1)^9\)

Доведіть тотожність: \(\\\qquad\) 1) \(C_n^0+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^n=2^n\); \(\\\qquad\) \(\\\qquad\) 2) \(C_n^0-C_n^1+C_n^2-\dots+(-1)^nC_n^n=0\); \(\\\) порахуйте число: \(\\\qquad\) 3) \(C_5^0+2C_5^1+2^2C_5^2+\dots+2^5C_5^5\).

Довести формулу \((a+b)^n={\textstyle\sum_{k=0}^n}C_n^ka^{n-k}b^k\). \(\\\qquad\) \(\\\qquad (a+b)^n=C_n^0a^nb^0+C_n^1a^{n-1}b^1+\dots+C_n^ka^{n-k}b^k+\dots\;+C_n^na^0b^n\)

Доведіть тотожність: \(\\\qquad\)1) \( C_{n-1}^{k-1}\;+\;C_{n-1}^k\;=\;C_n^k\); \(\\\qquad\) \(\\\qquad\)2) \((n-k)C_n^k\;=nC_{n-1}^k\); \(\\\qquad\) \(\\\qquad\)3) \(C_n^mC_m^k\;=C_n^kC_{n-k}^{m-k}\); \(\\\qquad\) \(\\\qquad\)4) \(C_n^k\;=C_{n-1}^{k-1}\;+\;C_{n-2}^{k-2}\;+\;\dots\;+C_k^{k-1}+C_{k-1}^{k-1}\).

\(\bf{Трикутник\,Паскаля}\). У трикутнику Паскаля по краях в кожному рядку стоять одиниці, а кожне внутрішнє число дорівнює сумі двох чисел, що стоять над ним. \(\\\qquad\)Доведіть, що: \(\\\qquad\)1) числа в рядку трикутника Паскаля, рівновіддалені від кінців, рівні. \(\\\qquad\)2) сума чисел у кожному рядку трикутника Паскаля в два рази більше, ніж сума чисел у попередньому рядку. \(\\\qquad\)3) в будь-якому рядку трикутника Паскаля сума чисел, що стоять на парних місцях, дорівнює сумі чисел, що стоять на непарних місцях. \(\\\qquad\)4) кожне число внутрішнє число \(a\) трикутника Паскаля дорівнює сумі чисел попередньої правої діагоналі (по лінії, паралельній правій стороні трикутника), починаючи з самого лівого аж до того що стоїть праворуч над числом \(a\). \(\\\qquad\)5) кожне число в трикутнику Паскаля, зменшене на \(1\), дорівнює сумі всіх чисел, що заповнюють паралелограм, обмежений лівої і правої діагоналями, на перетині яких стоїть число (самі діагоналі в паралелограм не включаються). \(\\\qquad\)6) кожне число в трикутнику Паскаля дорівнює кількості шляхів, що ведуть до нього з вершини трикутника, якщо кожен хід веде вправо вниз або вліво вниз.

\(\qquad\)На клітчастому папері намалювали прямокутний трикутник з катетами, рівними \(8\) клітинам (катети йдуть по лініях сітки). Потім обвели все лінії сітки, що знаходяться всередині трикутника. \(\\\qquad\)Яку найбільшу кількість трикутників можна знайти на цьому малюнку?