Скільки способів розставити \(k-1\) перегородку і \(n\) кульок в ряд: \(\\\qquad\)a) Довільним способом? \(\\\qquad\)б) Так щоб перегородки не стояли поруч?
Скільки способів розкласти \(n\) кульок в \(k\) коробок: \(\\\qquad\)a) Довільним способом? \(\\\qquad\)б) Щоб не було порожніх коробок?
Скільки розв'язків має рівняння \(x_1+x_2+⋯+x_k = n,\) де \(n\) фіксоване число. \(\\\qquad\)a) цілих невід'ємних числах? \(\\\qquad\)б) в натуральних числах?
\(\qquad\)Є куб розміром \(5\times5\times5\), що складається з маленьких одиничних кубиків. Точка \(K\) – центр одного з кутових кубиків, в якому сидить коник. Він може стрибати в центр кубика, що має загальну грань з тим, в якому коник знаходиться в даний момент, причому так, щоб відстань до точки \(K\) збільшувалася. \(\\\qquad\)Скількома способами коник може дострибати до кубика, протилежного початковому?
Доведіть рівність \(C_{n-1}^{k-1}C_n^{k+1}C_{n+1}^k=C_{n-1}^kC_{n+1}^{k+1}C_n^{k-1}\)
У виразі \((a+b+c)^{11}\) розкрили дужки і привели подібні члени. \(\\\)Чому дорівнює коефіцієнт при \(a^5 b^2 c^4\)?
а) Чи зустрічається в трикутнику Паскаля число \( \underbrace{20212021\dots2021}_{2021\;раз}\)? \(\\\)б) Знайдіть натуральне число, більше одиниці, яке зустрічається в трикутнику Паскаля більше \(\bf{трьох}\) разів; \(\\\)в) Знайдіть натуральне число, більше одиниці, яке зустрічається в трикутнику Паскаля більше \(\bf{чотирьох}\) раз.
Доведіть тотожність: $$ C_{m+n}^k=C_n^0C_m^k+C_n^1C_m^{k-1}+\dots+C_n^kC_m^0\:\;(0\leq k\leq n) $$
Сума цифр натурального числа \(n\) дорівнює \(100\). Чи може сума цифр числа \(n^3\) дорівнювати \(1000000\)?