Скільки існує п’ятизначних чисел, у яких кожна наступна цифра більше попередньої?

Намалюйте на площині сім точок так, щоб вони були вершинами рівно для \(32\) трикутників. \(\\\)Поясніть, чому відповідь саме 32.

Скількома способами можна розбити \(12\) чоловік на дві команди по \(6\) чоловік в кожній?

Номер квитка складається з шести цифр від \(0\) до \(9\). Скільки номерів містять рівно \(5\) однакових цифр?

На площині дано \(11\) прямих загального положення (серед них немає паралельних та ніякі три не перетинаються в одній точці). \(\\\)Чому рівне число утворених ними трикутників?

Добуток деяких \(48\) натуральних чисел має рівно \(10\) різних простих дільників. \(\\\)Доведіть, що добуток деяких чотирьох з цих чисел є квадратом натурального числа.

\(\qquad\)Доведіть, що в будь-якому безлічі, що складається з \(117\) попарно різних тризначних чисел, можна вибрати чотири попарно непересічних підмножини, суми чисел в яких рівні.

\(\qquad\)Равлик має проповзти уздовж ліній клітчастого паперу шлях довжини \(2n\), почавши і закінчивши свій шлях в даному вузлі. \(\\\qquad\)Доведіть, що число різних маршрутів дорівнює \(\left(C_{2n}^n\right)^2\).

\(\qquad\)На співбесіді десяти людям було запропоновано тест, який складається з декількох питань. Відомо, що будь-які п’ять людей відповіли разом на всі питання (тобто на кожне питання хоч один з п’яти дав правильну відповідь), а будь-які чотири – ні. При якій мінімальній кількості питань це могло статись?

В компанії з \(10\) людей сталося \(14\) попарних сварок. \(\\\)Доведіть, що все одно можна скласти компанію з трьох друзів.