\(\qquad\)Сільский вчитель зберігає всі свої чесно зароблені мільйони гривень в \(35\) банках (в банк він кладе тільки цілу кількість мільйонів гривень). Одного разу, перераховуючи їх, він зауважив, що якщо зняти гроші з будь-яких двох банків, можна розкласти ці мільйони порівну по цим двом банкам. Потім він помітив, що якщо зняти гроші з будь-яких \(3\), або будь-яких \(4, \ldots, \) або будь-яких \(34\) банків, то теж можна так перекласти гроші, що у всіх банках з яких він їх візьме, стане порівну мільйонів. Тут його викликали к директору школи, і вчитель не встиг перевірити, чи можна розкласти всі його мільйони порівну по \(35\) банкам. \(\\\qquad\)Чи можна, не заглядаючи в банки, дати точну відповідь на це питання?
\(\qquad\)Є багато однакових квадратів. У вершинах кожного з них в довільному порядку написані числа \(1, 3, 4\) і \(6\). Квадрати склали в стопку і написали суму чисел, які потрапили в кожен з чотирьох кутів стопки. \(\\\qquad\)Чи може виявитися так, що в кожному кутку стопки сума дорівнює \(2021\)?
\(\\qquad\)Для кожного натурального \(n\) позначимо через \(P(n)\) число способів розбити число \(n\) в суму натуральних доданків (розбиття, що відрізняються лише порядком доданків, вважаються однаковими, наприклад, \(P(4) = 5\), тому що \(4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1\) - п'ять способів). Кількість різних чисел в даному розбитті назвемо його розсіюванням (наприклад, розбиття \(4 = 1 + 1 + 2\) має розсіювання \(2\), тому що в цьому розбитті два різних числа). \(\\\qquad\)Доведіть, що сума \(Q(n)\) всіх розсіювань всіх розбиттів числа \(n\) дорівнює $$1 + P(1) + P (2) + \ldots + P(n-1).$$
\(\qquad\)Кожна сторона правильного трикутника розбита на \(10\) рівних відрізків, і через всі точки розподілу проведені прямі, паралельні сторонам. Даний трикутник розбився на \(100\) маленьких трикутників-клітин. Трикутники, що розташовані між двома сусідніми паралельними прямими, утворюють смужку. \(\\\qquad\)Яке найбільше число клітин можна зафарбувати так, щоб ніякі дві зафарбовані клітинки не належали ні на одній смужці, ні по одному з трьох напрямків?
Вісім школярів розв’язували \(8\) задач. Виявилось, що кожну задачу розв’язали \(5\) школярів. Доведіть, що знайдуться такі два школяра, що кожну задачу розв’язав хоча б один з них.
\(\qquad\)На столі лежали дві колоди, по \(36\) карт в кожній. Першу колоду перетасували і поклали на другу. Потім для кожної карти першої колоди підрахували кількість карт між нею і такою ж картою другої колоди. \(\\\qquad\)Чому дорівнює сума \(36\) отриманих чисел?
\(\it{Розбиттям}\) натурального числа називається його розкладання на невпорядковані натуральні складові. \(\\\) Доведіть, що: \(\\\qquad\)а) кількість розбиттів числа не більше ніж на десять доданків дорівнює кількості його ж розбиттів на складові, що не перевищують десяти; \(\\\qquad\)б) кількість розбиттів числа рівно на десять доданків дорівнює кількості його ж розбиттів на складові, що не перевищують десяти, серед яких обов'язково є принаймні одна десятка.
\(\qquad\)Доведіть, що не можна занумерувати ребра куба числами \(1, 2, \ldots, 11, 12\) так, щоб для кожної вершини сума номерів що стоять на трьох ребрах що з неї виходять була однією і тією ж. \(\\\qquad\)Знайдіть максимальну можливу суму поставлених чисел.
\(\qquad\)Коли зустрічаються два жителя села Обмінкіно, один віддає іншому монету в \(50\) копійок, а той йому віддає \(2\) монети по \(25\) копійок. \(\\\qquad\)Чи могло статися так, що за день кожен з \(2021\) жителя міста віддав рівно \(10\) монет?
\(\qquad\)Кирило зафарбував в квадраті \(6 \times 6\) кілька клітин. Після цього виявилося, що у всіх квадратиках \(2 \times 2\) однакове число зафарбованих клітин і у всіх смужках \(1 \times 3\) однакове число зафарбованих клітин. \(\\\qquad\)Доведіть, що старанний Кирило зафарбував всі клітини.