Скільки існує розбиттів відрізку довжини \(9\) на відрізки \(1, 2, 3\)? \(\\\)(розбиття, які відрізняються порядком чергування, вважаються різними)
\(\qquad\)Задумано число від \(1\) до \(89\). Дозволяється виділити одну підмножину множини з чисел від \(1\) до \(89\) і спитати, чи належить йому задумане число. За відповідь \(\it{так}\) треба платити \(2\) гривні, а за відповідь \(\it{ні}\) – \(1\) гривню. \(\\\qquad\)Якої найменшої суми грошей точно вистачить, щоб відгадати задумане число?
\(\qquad\)Шеренга вчителів називається не дисциплінованою, якщо ніякі три вчителі підряд не стоять по рівню педагогічного стажу (ні в порядку спадання, ні в порядку зростання). \(\\\qquad\)Скільки неправильних шеренг можна побудувати з \(7\) вчителів різного педагогічного стажу?
\(\qquad\)Кільцевій паркан складається з \(n\) дощечок, кожну з них треба пофарбувати в один з трьох кольорів, причому сусідні дощечки повинні бути пофарбовані в різні кольори. \(\\\qquad\)Скількома способами можна це зробити для \(10\) дощечок?
Жаба стрибає по вершинах трикутника \(ABC\), переміщаючись кожен раз в одну з сусідніх вершин. \(\\\)Скількома способами вона може потрапити з \(A\) в \(A\) за \(10\) стрибків?
Є опуклий \(7\)-кутник. Скількома способами його можна розрізати на трикутники, проводячи діагоналі, що не перетинаються?
\(\qquad\)Вчитель фізкультури вирішив спробувати нову дієту, йому треба голодувати три дні в наступні два тижні, але не можна робити це три дні підряд. \(\\\qquad\)Скількома способами він може вибрати ці три дні?
\(\qquad\)Кирило піднімається на східцях. Він може крокувати на наступну сходинку, або стрибати через одну. \(\\\qquad\)Скількома способами він може піднятись на одинадцяту сходинку?
\(\qquad\)У науковому інституті \(200\) співробітників. Кожні два з них або дружать, або ворогують, причому кожний дружить рівно з шістьма іншими. Кожні \(3\) співробітника утворюють свою дослідницьку групу. \(\\\qquad\)Знайдіть загальне число дослідницьких груп, у котрих всі три члена попарно дружать чи всі троє попарно ворогують.
\(\qquad\)У правильний \(20\)-кутник, поклали \(21\) точку так, що ніякі три з них не лежать на одній прямій. Даний \(20\)-кутник розрізали на трикутники таким чином, що всі зазначені точки (всі \(41\)) є вершинами трикутників і ці трикутники не мають ніяких інших вершин. \(\\\qquad\)Скільки вийде трикутників при такому розрізанні?