Доведіть рівність: \(\\\qquad\)1) \(1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\) \(\\\qquad\) \(\\\qquad\)2) \(1 + 2 + \ldots + (n-1) + n + (n-1) + \ldots +1 = n^2\) \(\\\qquad\) \(\\\qquad\)3) \(1^2 + 2^2 + \ldots +n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1))}{2}\) \(\\\qquad\) \(\\\qquad\)4) \(1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}2\right)^2\)
\(\qquad\)Відомо, що в таблиці п’ять строчок і в усіх клітинках стоять числа так, що сума чисел у рядках \(30\), а сума чисел кожного стовпчика \(10\). \(\\\qquad\)Скільки в цій таблиці стовпчиків?
\(\qquad\)На конференції Малої академії наук, кожен з слухачів похвалив рівно чотирьох доповідачів. При цьому виявилося, що кожного доповідача похвалило рівно чотири слухача. \(\\\qquad\)Доведіть, що слухачів було рівно стільки ж, скільки доповідачів.
\(\qquad\)Кажуть, що співробітники МАН спілкуються на своїй мові, яка складається з трьох літер \(М, А, Н\). Фізичне відділення МАН відкрило новий фізичний закон, кожний раз коли хтось пише дві літери \(А\) поруч в одному слові, в світі зникає один бозон Хіггса. \(\\\qquad\)Яку максимальну кількість \(18\)-літерових слів, в яких кожної літери по \(6\) штук, можуть використовувати співробітники МАН так, щоб не зменшувати поголів’я бозонів Хіггса в світі?
Скількома способами можна розкласти по \(7\) різним скринькам \(20\) однакових жовтих і \(21\) блакитну кулю, якщо в кожній скриньці повинні бути кулі обох кольорів?
Скільки розв'язків в непарних натуральних числах має рівняння $$ x + y + z + t + r = 2021? $$
Скількома способами \(5\) жовтих куль, \(5\) білих куль і \(5\) блакитних куль можна розкласти в \(5\) різних скриньок?
\(\qquad\)Студент при вступі в університет здає \(5\) іспитів, за які він може отримати оцінки від \(1\) до \(12\). Він вважає, що для вступу достатньо набрати \(56\) балів. \(\\\qquad\)Скількома способами він може здати іспити, так щоб точно потрапити в університет?
\(\qquad\)Доведіть, що кожне натуральне число \(n\) може бути \(2^{n-1}-1\) різними способами представлено у вигляді суми менших натуральних доданків, якщо два представлення, що відрізняються хоча б порядком доданків, вважаються різними.
За круглим столом сидять \(n\) лицарів. Скількома способами можна вибрати \(k\) лицарів так, щоб серед обраних не було двох сусідів?