Середини сторін двох шестикутників збігаються. Довести, що площі шестикутників рівні.
Знайти всі числа \(k\) такі, що $$ 2\cdot3^{6n}+k\cdot2^{3n+1}-1 $$ привсіх натуральних \(n\) ділиться на \(7\).
Розв'язати рівняння $$ \sqrt[n]{{(x+1)}^2}+\sqrt[n]{{(x-1)}^2}=4\sqrt[n]{x^2-1}. $$
Радіолампу, що має \(2n + 1\) контакт, розміщений о колу, вмикають у штепсель, яких має \(2n + 1\) отвір. Довести, що контакт лампи і отвори штепселя можна занумеровати так, щоб при будь-якому вмиканні лампи принаймі один контакт попадав у отвір з тим самим номером.
Середини сторін двох чотирикутників збігаються. Довести, що площі цих чотирикутників рівні.
Цифри всіх цілих чисел від \(1\) до \(100\), записаних підряд, утворюють число. Викреслити з цього числа \(100\) цифр так, щоб число, утворене залишеними цифрами, було найменшим.
Точки \(D\) і \(E\), \(K\) і \(L\) та \(M\) і \(N\) ділять відповідно сторони \(AC\), \(CB\) і \(BA\) трикутника \(ABC\) на три рівні частини. Довести, що площа чотирикутника, утвореного при перетині прямих \(BD\), \(BE\), \(KN\) і \(LM\), дорівнює \(\frac{1}{9}\) площі трикутника \(ABC\).
Не дочекавшись трамваю на зупинці \(A\), хлопчикпішов до наступної зупинки \(B\). Пройшовши \(\frac{1}{3}\) шляху, він озирнувся і помітив, що до зупинки \(A\) наближається трамвай. Якщо хлопчик побіжить до зупинки \(A\) або до зупинки \(B\), то в обох випадках він встигне сісти на трамвай. З якою швидкістю повинен бігти хлопчик, коли відомо, що трамвая рухається зі швидкістю \(30\) км/год?
Відомо, що серед кожних чотирьох учасників туристського походу принаймі один знайомий з трьома іншими. Довести, що кожний з учасників походу, крім щонайбільше трьох, знайомий з усіма іншими.