У школі вивчають \(2n\) предметів; усі учні цієї школи вчаться на \("4"\) і \("5"\); жодні два з них не вчаться однаково і про жодних двох не мона сказати, що один з них вчиться краще за іншого. Довести, що число учнів у школі не перевищує \(С_{2n}^n\).

Дано конус і точку \(A\). Знайти множину вершин конусів, які конгруентні заданому, містять усередені себе точку \(A\) і осі яких паралельні осям заданого конуса.

Довести, що при \(x > 0\) і натуральному \(n\) виконується нерівність $$ 1+\frac xn\geq\sqrt[n]{1+x}. $$

На площині дано нескінченну кількість точок так, що всередині будь-якого кола міститься скінченне число цих точок. Довести. що для кожного натурального числа \(n\) існує коло, всередині якого міститься рівно \(n\) даних точок.

Шість кругів розміщено на площині так, що центр кожного з них лежить зовні п'яти інших. Довести, що не існує жодної точки, яка належала б усім кругам одночасно.

З трьох точок, які лежать у горизонтальній площині на відстані \(a, b\) і \(c\) від основи телевізійної вишки, цю вишку видно під кутами, сума яких дорівнює \(90^\circ\). Знайти висоту вишки.

Розв'язати рівняння $$ \log_\frac12\left|x\right|=\frac14(\left|x-2\right|+\left|x+2\right|). $$

Нехай \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots -\) пслідовність чисел, яка утворена за таким правилом: $$a_1=1,\;a_n=na_{n-1}+{(-1)}^n.$$ Довести, що \(a_n\) ділиться на \(n - 1\) при \(n > 1\).

Радіолампа, що має \(2n\) контактів, розміщених по колу, вмикається у штепсель, який має \(2n\) отворів. Довести, що контакти лампи і отвори штепселя не можна занумеровати так, щоб при будь-якому вмиканні лампи принаймні один контакт попадав у отвір з тим самим номером.

Дано два відрізки \(AB\) і \(CD\), що не перетинаються. Побудувати точку \(M\) так, щоб трикутники \(AMB\) і \(CMD\) були подібними, причому \(\angle AMB\cong\angle CMD\).