У шаховому турнірі брали участь \(n\) шахістів. Кожни зустрічався з кожним іншим один раз, причому жодна партія не закінчилася внічию. Відомо. що кожний шахіст знає призвище учасників турніру, яких він переміг, а також прізвище тих, кого перемогли переможені ним. \(\\\)Довести, що є учасник, який знає прізвище всіх шахістів, що беруть участь у турнірі.

З \(12\) шнурків, должина кожного з яких \(10\) см, зроблено сітку у формі куба. У цю сітку поклали гумову кулю і роздули її до максимальних розмірів, зумовлених розмірами сітки. Обчислити радіус кулі.

Побудувати множину точок, координати \((x;\; y)\) яких задовольняють нерівність $$ \log_{\left|\sin y\right|}(\left|x\right|-1)<0. $$

Два конгруентні і правильні трикутники розміщено в просторі в двох паралельних площинах, причому відрізок, який сполучає центри трикутників, пермендикулятний до площин. Знайти множину точок, які є серединами відрізків, що сполучають точки одного трикутника з точками другого.

У шаховому турнірі брали участь \(n\) шахістів. кожний зустрічався з кожним іншим один раз, причому жодна партія не закінчилася внічию. Довести, що за результатами турніру всіх шахістів можна перенумерувати в такому порядку, щоб кожний попередній був переможцем наступного.

Знайти всі додатні корені рівняння $$ nx^{n+1}-(n+1)x^n+1=0. $$

Нехай \(\alpha \; -\) гострий кут. Довести, що $$ \left(1+\frac1{\sin\alpha}\right)\left(1+\frac1{\cos\alpha}\right)\geq3+2\sqrt2. $$

З точок \(A\) і \(B\), які лежать на поверхні озера,видно все його плесо. Довести, що з кожної точки відрізка \(AB\) також видно всю поверхню озера.

Довести, що всі натуральні числа від \(1\) до \(1965\) не можна записати аідряд у такому порядку, щоб число, яке утвориться, було точним квадратом.

Дано пряму лінію і дві точки \(A\) і \(B\) по різні боки від неї. Знайти на прямій точку \(C\) таку, щоб найбільший з відрізків \(AC\) і \(BC\) мав найменшу довжину.