На поличці стоять \(12\) книг. Скількома способами можна вибрати з них \(5\) книг, ніякі дві з яких не стоять поруч?
Обчисліть коефіцієнт при \(x^{100}\) в многочлені \((1 + x + x^2 + \ldots + x^{100})^3\) після зведення всіх подібних членів.
Скільки розв'язків рівняння \(x + y + z = 100\) в натуральних числах від \(1\) до \(60\).
Скільки існує \(n\)-значних натуральних чисел, у яких цифри розташовані в неспадному порядку?
Скількома способами можна представити \(1000000\) у вигляді добутку трьох множників, якщо добутки, що відрізняються порядком множників, вважаються різними?
Є \(m\) білих і \(n\) чорних куль, причому \(m \gt n\). Скількома способами можна всі кулі розкласти в ряд так, щоб ніякі дві чорних кулі не лежали поруч?
\(\qquad\)За булочками в їдальню вишикувалася черга з \(15\) людей. Тут прибігли \(4\) хлопчика, і вони влізли в деякі проміжки між тими, хто вже стояв в черзі. Скільки різних черг могло утворитися, якщо: \(\\\qquad\)а) в жоден проміжок не влізли більше однієї людини; \(\\\qquad\)б) в проміжок могли влізти і більше однієї людини?
Поїзд, в якому знаходиться \(m\) пасажирів, має зробити \(n\) зупинок. Скількома способами можуть вийти пасажири на цих зупинках, якщо враховується лише кількість пасажирів, які вийшли на кожній зупинці.
В ряд стоять \(5\) скриньок. Скількома способами можна розкласти по цим скринькам одинадцять однакових кульок, щоб жодна скринька не виявилась порожньою? $$ \boxed{\;\;\;\;\;\;\;\;\bullet\bullet\;\;\;\;\;\;}\;\boxed{\;\;\;\;\;\bullet\bullet\;\;\;\;\;\;\;}\;\;\boxed{\;\;\;\;\bullet\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\;\;\boxed{\;\;\bullet\bullet\bullet\;\;}\;\boxed{\;\;\;\bullet\bullet\bullet\;\;\;\;\;} $$
У ряду стоять \(6\) скриньок. Скількома способами можна розкласти по цим скринькам \(10\) однакових кульок? $$ \boxed{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\;\boxed{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\;\boxed{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\;\;\boxed{\;\;\;\;\bullet\bullet\bullet\;\;\;\;}\;\;\boxed{\;\;\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\;\;}\;\boxed{\;\;\;\;\bullet\bullet\;\;\;\;\;} $$