Дано п’ять складених чисел які не перевищують число \(120\). Доведіть, що якісь два з цих чисел мають спільний дільник більший за одиницю.

Кілька натуральних чисел перемножили, і вийшло \(12672\). Що це були за числа, якщо найбільше з них удвічі більше найменшого?

На дошці виписані числа \(1, 2, \ldots, 100\). На кожному етапі одночасно стираються всі числа, які не мають серед нестертих чисел дільників, крім себе самого. Наприклад, на першому етапі стирається тільки число \(1\). \(\\\)Які числа будуть стерті на останньому етапі?

Числа від \(1\) до \(10\) розбили на дві групи так, що добуток чисел в першій групі без остачі ділиться на добуток чисел у другій. Яке найменше значення може бути у частки від ділення першого добутку на другий?

Науковий співробітник з окладом \(100\) гривень прийшов звітувати директору інституту, що він збирається робити. Коли його обіцянки директору подобаються, він одразу збільшує зарплатню співробітника на \(30%\), а коли не подобаються, одразу зменшує на \(30%\). Після кількох обіцянок його зарплатня стала \(82\) гривні \(81\) копійка. \(\\\)Скільки всього обіцянок було, і скільки з них сподобались директору?

Чи завжди вірні твердження? \(\\\)Якщо \(a\) ділиться на \(3\), то \(a^2\) ділиться на \(9\); \(\\\)Якщо \(a\) ділиться на \(24\) і \(a\) ділиться на \(15\), то a ділиться на \(360\); \(\\\)Якщо \(a^2\) ділиться на \(3\), то \(a\) ділиться на \(3\); \(\\\)Якщо \(a^2\) ділиться на \(8\), то \(a\) ділиться на \(4\); \(\\\)Якщо \(a^2\) ділиться на \(8\), то \(a\) ділиться на \(8\).

(а) Нехай \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) прості числа. Доведіть, що число \(p_1p_2p_k +1\) має простий дільник, відмінний від \(p_1, p_2, \ldots, p_k\). \(\\\)(б) Доведіть, що простих чисел нескінченно багато.

Знайдіть найменше натуральне \(n\), для якого \((n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)\) ділиться на \(1000\).

Доведіть, що число \(100!\) не є точним квадратом.

Фізик розповів колезі, що він був у ЦЕРНі і там знайшли нову елементарну частинку. Той розповів іншому колезі, що в ЦЕРНі знайшли дві елементарні частинки. Передаючи новину далі, прості дослідники збільшували кількість частинок вдвічі, а талановиті - втричі. В результаті по телевізору повідомили про те що в ЦЕРНі знайшли \(432\) елементарні частинки. Скільки простих і скільки талановитих людей збільшили кількість елементарних частинок?