Фізики лазером пропалили \(15\) дірок у килимі розміром \(44\) метри. Чи обов’язково їм вдасться вирізати килимок розміром \(11\), який не містить усередині дірок? (Дірки вважаються точковими).

У кожній клітинці таблиці \(3 \times 3\) записано число \(1, 2\) або \(3\). Чи можуть суми чисел у всіх рядках, стовпчиках і великих діагоналях бути різними?

Доведіть, що при будь-якому натуральному \(n\) число \((3^n - 1)^n - 4\) ділиться на \(3^n - 4\).

Доведіть, що при будь-якому натуральному \(n\) число \(42^{n+2} + 16^{n+1} + 29^n\) ділиться на \(13\).

Знайдіть найбільше \(n \le 2021\) таке, що \(3^n + 4^n + 5^n\) кратне \(10\).

Розв'яжіть конгруенцію: \(196х \equiv 20(mod 172)\)

Доведіть, що \(18^{2020} + 37^{2021}\) ділиться на \(19\).

Чи можна розставити по колу \(8\) різних натуральних чисел так, щоб для будь-яких двох сусідніх чисел відношення більшого з них до меншого було простим числом?

Деяке просте число поділили на число \(60\), і в залишку отримали складене число. Знайдіть всі можливі значення числа.

Яке найменше складене число не є дільником \(80!\)