Цілі числа \(a\) і \(b\) такі, що \(46a = 59b\). Доведіть, що \(a + b\) - складене число

Що можна розміняти більшим числом способів: гривню монетами в \(1, 2, 3, 5, 10, 15, 20\) і \(50\) копійок або \(100\) гривень купюрами в \(1, 2, 3, 5, 10, 25\) і \(50\) гривень (будемо вважати, що монети та купюри з таким номіналом існують)?

Доведіть, що сума номерів всіх щасливих квитків ділиться без остачі на \(11\).

Розглядаються всі можливі трикутники з цілочисельними сторонами і периметром \(2020\), а також всі можливі трикутники з цілочисельними сторонами і периметром \(2023\). Яких трикутників більше?

Серед чисел від \(2\) до \(2021\) яких чисел більше простих або кратних \(3\)?

Послідовність з п'яти цифр \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\) називається «горою», якщо \(a_1 < a_2 < a_3 > a_4 > a_5\) і «долиною», якщо \(a_1 > a_2 > a_3 < a_4 < a_5\). Чого більше: «гір» або «долин»?

Номер квитка від \(000000\) до \(999999\) називається щасливим, якщо сума перших трьох його цифр дорівнює сумі останніх трьох цифр. Доведіть, що щасливих квитків стільки ж, скільки квитків з сумою цифр \(27\).

Яких графів з вісьмома вершинами більше: тих, в яких рівно одинадцять ребер, або тих, в яких рівно сімнадцять ребер?

Яких чисел більше від \(2\) до \(2021\), простих чи складених?

Кульгавий король вміє ходити тільки вгору, вправо і вправо-вгору. Яких шляхів кульгавого короля більше: з \(a1\) в \(h8\) або з \(a1\) в \(h7\)?