Дано \(n\) додатних чисел \(x_1, x_2, \dots\, x_n\), які задовольняють умову: \(x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot\dotsc\cdot x_n=a\). \(\\\)Довести, що \((1+x_1)(1+x_2)\;\dots\;1+x_n)\geqslant{(1+\sqrt[n]a)}^n\).
Подамо ліву частину нервності так:\(\\\)$ (1+x_1)(1+x_2)\;\dots\;(1+x_n)=1+x_1+\dots+x_n+x_1x_2+x_1x_3+\dots+\\+x_{n-1}x_n+x_1x_2x_3+x_1x_3x_4+\dots+x_{n-2}x_{n-1}x_n+\dots+x_1x_2\dots x_n. $\(\\\)Зазначимо, що доданків виду \(x_ix_j\) буде \(C_n^2\), виду \(x_ix_jx_k - C_n^3\) і т. д.\(\\\) Застосовуючи нерівності між середнім арифметичним і середнім геометричним, матимемо: \(\\\)$ x_1+x_2+\dots+x_n\geqslant n\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}=n\sqrt[n]a;\\x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_{n-1}x_n\geqslant C_n^2\sqrt[n]{{(x_1x_2\dots x_n)}^2}=C_n^2\sqrt[n]{a^2};\\x_1x_2x_3+x_1x_3x_4+\dots+x_{n-2}x_{n-1}x_n\geqslant C_n^3\sqrt[n]{{(x_1x_2\dots x_n)}^3}=C_n^3\sqrt[n]{a^3}$\(\\\) і т. д. Останій доданок зобразимо як:\(\\\)$ x_1x_2\dots x_n=C_n^n\sqrt[n]{a^n}.$\(\\\)Отже,\(\\\)$ (1+x_1)+(1+x_2)+\dots+(1+x_n)\geqslant\\\geqslant1+n\sqrt[n]a+C_n^2\sqrt[n]{a^2}+C_n^3\sqrt[n]{a^3}+\dots+C_n^n\sqrt[n]{a^n}=\left(1+\sqrt[n]a\right)^n. $\(\\\)Що й треба було довести.
| Attributes | Олімпіадна |
|---|---|
| Source | Респуліканська математична олімпіада (Ukraine) |
| Year | 1971 |
| Number | 3 |
| Difficulty | 10.0 |
| Grade | X клас |
| Themes |