Доведіть, що \(\\\qquad\)a) \(7^{2018} – 1\) ділиться на \(6\); \(\\\qquad\)b) \(5^{2019} + 1\) ділиться на \(6\).
Доведіть властивості конгруенцій за модулем: \(\\\qquad \centerdot \; \)якщо конгруенція вірна за модулем \(m\), тоді вона вірна і за модулем \(n\), рівному будь-якому натуральному дільнику числа \(m\); \(\\\qquad \centerdot \; \)якщо конгруенція вірне по декільком модулям, то воно вірне по модулю, рівному найменшому спільному кратному даних модулів; \(\\\qquad \centerdot \; \)обидві частини конгруенції можна розділити на їх спільний дільник, взаємно простий з модулем.
\(\qquad\it{Означення}\): числа \(a\) і \(b\) рівні (конгруентні) за модулем \(m (a \equiv b (mod\;m))\), якщо \( a – b\) ділиться на \(m\), тобто існує таке ціле число \(c\), що \(a – b = cm\). \(\\\qquad\)Доведіть за означенням: якщо \(a \equiv b (mod\;m)\), \(c \equiv d (mod\;m)\), тоді \(\\\qquad\)а) \(a \pm c \equiv b \pm d (mod\;m)\) \(\\\qquad\)б) \(ak \equiv bk (mod\;m)\) \(\\\qquad\)в) \(acbd (mod\;m)\) \(\\\qquad\)г) \(a^nb^n (mod\;m)\).
Доведіть, що в нескінченній послідовності попарно різних натуральних чисел, більших одиниці, знайдеться нескінченна кількість чисел, які більше свого номера в цій послідовності.
Дана таблиця \(n \times n\), в кожній клітинці записано число, причому усі числа різні. В кожній строчці відмітили найменше число, і всі відмічені числа виявились в різних стовпчиках. Потім в кожному стовпчику відмітили найменше число, і всі відмічені числа опинились в різних строках. Доведіть, що обидва рази відмітили одні і ті самі числа.
На полях шахівниці розставлені числа \(1, 2, \ldots, 64\). Доведіть, що знайдеться пара сусідніх по стороні клітинок, де числа відрізняються не менше, ніж на \(5\).
На конгрес зібрались вчені, серед яких є друзі. Виявилось, що кожні два з них, які мають на конгресі рівне число друзів, не мають спільних друзів. Доведіть, що знайдеться вчений, який має рівно одного друга з числа учасників конгресу.
Доведіть, що числа від \(1\) до \(16\) можна записати в строку, але не можна записати по колу так, щоб сума будь-яких двох сусідніх чисел була квадратом натурального числа.
Чи існують такі різні натуральні числа \(a\) і \(b\), що \(a^2 + 2b + 1\) і \(b^2 + 2a + 1\) є точними квадратами?
Доведіть, що не існує попарно різних натуральних чисел \(x, y, z, t,\) для яких була б справедлива рівність $$ x^x+y^{{}_y}=z^z+t^t. $$