Доведіть, що якщо довжини сторін прямокутного трикутника виражаються цілими числами, тоді добуток довжин катетів ділиться на \(12\).

Розв’яжіть в натуральних числах рівняння \(2^x + 7^y = 19^z\).

Відомо, що \(a^{100} \equiv 2 (mod\;73)\) і \(a^{101} \equiv 69(mod\;73)\). \(\\\)Знайдіть залишок від ділення числа \(a\) на \(73\).

Розв’яжіть конгруенцію: (треба "пошайтанити" (заув. Тимошкевич)) \(\\\qquad\)а) \(11x \equiv 5 (\bmod\;7)\); \(\\\qquad\)b) \(42x \equiv 33 (\bmod\;90)\); \(\\\qquad\)c) \(x^2 - 5x + 6 \equiv 0(\bmod\;35)\).

Доведіть, що діляться на \(10\) числа: а) \(53^{53} - 33^{33}\); б) \(7^{1968^{1970}}-3^{4^{70}}\).

Доведіть, що \(\overline{a_na_{n-1}\;\dots\;a_0}\;\equiv\;a_0 - a_1+\;\cdots\;+ (-1)^n a_n(mod\;11)\)

Доведіть, що \(\overline{a_na_{n-1}\;\dots\;a_0}\;\equiv\;a_0+a_1+\;\cdots\;+a_n(mod\;9)\)

Доведіть, що при будь-якому натуральному \(n\) число \((2^n – 1)^n – 3\) ділиться на \(2^n – 3\).

Доведіть, що \(a^n–b^n\) ділиться на \(a–b\) за допомогою конгруенцій.

Доведіть, що \(2^{100} \equiv 3^{100}\) за модулями \(5, 13, 211\).